以下与几天前提出的一个问题有关1，但现在我想只关注问题的一部分。

我在计算参考元素上的积分时遇到问题：

$$\int_{0}^1 (f - \Pi_h^1(f))^2 dx.$$

我想我了解如何在参考元素上使用基函数以及它们的值是什么$f$应该用于插值。问题出在第一个 $f$在被积函数中。我怎样才能映射它？如果仿射图是$x = x_j + \gamma (x_{j+1} - x_j)$我可以把它换成$f$并获得

$$f(x(\gamma)) = cos(2 \pi (x_j + \gamma (x_{j+1} - x_j))).$$

我该如何继续？我在页面上关注这些美丽的笔记$49$但这很简单。

使用 Python 来做到这一点，我最终得到了这个：

def func_ref(z, x, a, b):
    cos_a = np.cos(2*np.pi*x[a])
    cos_b = np.cos(2*np.pi*x[b])
    return np.power((cos_a - cos_a * (1 - z) + cos_b * z) * (x[b] - x[a]), 2)

其中x只是包含节点的向量，a和b将是左右邻居，z是积分变量。第一个学期，$\mathbf{cos_a}$应该是第一个 $f$被积分的，但我不知道/不明白如何做到这一点。谢谢你。

可能的解决方案：

写得对吗

$$\int_{0}^1 (cos(2\pi (x_i + \gamma (x_{i+1} - x_i)) - cos(x_i)(1-\gamma) + cos(x_{j+1})\gamma)^2 (x_{i+1} - x_i) d \gamma$$

并整合关于$\gamma$?