我正在尝试实现自适应网格细化。我不是数学/计算科学的人，所以我会尝试以更简单的方式编写算法。如果专家能评论步骤的正确性，我将不胜感激：

目的：求解带狄利克雷边界条件的拉普拉斯方程，即 $\nabla^{2} u = 0$和$u = 1$在$\partial \Omega$. 假设 3 个级别的静态细化（比如 2-D 网格$[0,1]$我用$x^{2}+y^{2}>0.7$和$x^{2}+y^{2}<0.9$， 在哪里$x, y$是坐标）。

1. 初始化$u = 0$在各个层面。
2. 使用 5 点模板 Jacobi 迭代在最粗略的级别（级别 1）上求解。的初始值$u$在第 2 级用作粗细接口值。
3. 在最粗略的级别上交换幽灵单元以进行并行实施。
4. 在级别 1 插入粗网格单元以填充级别 2 的重影单元。
5. 在级别 2 上求解。$u$在第 3 级用作粗细接口值（以及鬼像元中的插值）。
6. 在第 2 级交换幽灵单元以进行并行实施。
7. 在第 3 级重复相同的操作。
8. 现在限制从级别 3 到 2 和级别 2 到 1（以便较粗的网格在较细的网格处看到解决方案的某些部分）。

重复这些步骤。

这些步骤是否正确？

（在 3-D 中，我的网格如下所示）