$A$是平方且正定的，并且让$r_k = Ax_k - b$. 也让$M = \frac{1}{2}(A+A^T)$. 我想证明

$$\frac{||r_{k+1}||_2}{||r_k||_2} \le \left(1-\frac{\lambda_\min(M)^2}{\lambda_\max(A^TA)} \right)^{1/2}$$

我们定义，其中被选择以最小化。$x_{k+1} = x_k + \alpha_k r_k$$\alpha_k$$||r_{k+1}||_2$

我想我找到，具体来说我认为 $\alpha_k$

$$\alpha_k = -\frac{r_k^TA^TAx_k}{r_k^TA^T Ar_k}$$

问题的早期部分让我们证明

$$\frac{v^TAv}{v^Tv}\ge \lambda_\min(M) > 0$$

我无法使用这两个事实来获得预期的结果。我尝试通过使用它的定义和\alpha的定义来扩展||r_{k+1}||_2^2 = r_{k+1}^Tr_{k+1}，但我并没有真正得到任何地方。有任何想法吗？谢谢！$||r_{k+1}||_2^2 = r_{k+1}^Tr_{k+1}$$\alpha$