中的以下二维问题$S_2$

$$- \Delta u (x,y) = f \ \text{in} \ S_2, \hspace{1.5cm} u(x,y) = 0 \ \text{on} \ \partial S_2$$

其中是这样的问题的解析解是$f$

$$u(x,y) = \cos [ 2 \pi x (y - x) ]^2.$$

问题应该用 5 点有限差分格式离散化，这将导致 Ax = b 系统。我需要将问题分解为 4 个不重叠的域。我应该将我的域正方形分成 4 个部分然后组装吗？还是组装然后分开？这里的主要问题是，拉普拉斯人会是什么样子。