计算科学 - 通过分解成线性独立分量对秩亏矩阵进行稀疏矩阵分解 - 吾爱随笔录

我有一个小猜想，我需要证明一个与因果贝叶斯网络搜索相关的理论结果，在稀疏约束下具有潜在变量。如果您对该应用程序感兴趣，请随时给我发送电子邮件至 adambrod@andrew.cmu.edu。

这是问题所在：

假设我们有一个实矩阵使得 1)秩亏因此中没有零元素。 $p\times q$ $A$ $A$ $\textrm{rk}(A)=r<\min(p,q)$ $A$

我想证明，与将 A 分解为两个维度为 p\times r 和 r\times q 的矩阵 B 和 C 相比，没有A为总元素 $A$ 矩阵。 $A$ $B$ $C$ $p\times r$ $r\times q$

我采用的证明策略是通过等级归纳证明。

基本情况 $\textrm{rk}(A)=1$ 是微不足道的（ $B$ 和 $C$ 必须在它们两者之间至少有 $p+q$ 个非零元素，以便 $A$ 的每个元素都非零，并且是维度为 $p\times r$ 和的一对矩阵中的最大元素数 $r\times q$ ）。

归纳步骤如下：从，使得得到的矩阵的秩为。这对应于从的所有“影响” ，使得线性无关。可以表示为某个列向量与的外积。假设是的最稀疏分解（我们的基本情况暗示了这种可能性）。让 $D$ $A$ $S$ $r-1$ $v$ $A$ $v$ $S$ $D$ $w$ $v$ $wv$ $D$ $RT$ 分别是维度和的最稀疏分解。我的猜测是的最稀疏分解是通过追加这两个最稀疏的分解来实现的，即加上作为第列和加上作为第行的乘积。因为和是线性独立的，这似乎很合理，但我无法进行严格的演示。 $S$ $p\times r-1$ $r-1\times q$ $A$ $A$ $R$ $w$ $r$ $T$ $v$ $r$ $D$ $S$

任何解决方案、建议或参考将不胜感激，当然，如果您向我提供个人信息（姓名/部门隶属关系），我很乐意感谢您在我应用此结果的任何出版物中提供的帮助。

谢谢！