巩固我的评论：不等式的证明（A.2）基于以下事实：子步骤（3.2）和（3.3）的解和分别是全局最小化器，因此您可以将它们分别与鞍点和进行比较。（这里，Boyd 使用了次微分表征，但我相信您也可以直接使用最优性推导出它。）但这只有在子问题是凸的（其中任何最小化器都是全局最小化器）时才能保证，如果和是凸的。$x^{k+1}$$z^{k+1}$$x^*$$z^*$$f$$g$

这并不是说 ADMM不能处理非凸问题——事实上，这是目前非平滑优化和图像处理中的一个非常热门的话题——但你只能使用局部最小化器这一事实使得分析（和实践）显着更多涉及。

我花了很长时间才弄清楚。

如果去除凸性假设，则以下等式（第 9 行，第 108 页）不再成立：

$$\partial L_\rho(x^{k+1},z^k,y^k) = \partial f(x^{k+1}) + A^Ty^k + \rho A^T (Ax^{k+1} + Bz^k - c).$$ 更准确地说，这个等式只有在$\partial f(x^{k+1}) \neq \emptyset$（如果$f$是凸的）。同样对于$g$.