关键是要保证傅立叶系数存在，而不是对违反保证可能发生的情况做出真正的区分。此外，如果它存在的话，您将很难找到一个合理的函数来解决这个问题。可积函数的类别已经如此广泛，以至于包括您可能想要计算的所有傅里叶系数。

您引用的声明似乎不正确，因为$1/\cos x$不可积，但有一些有限的傅立叶系数。

如果$f$不可积，则第一个傅立叶系数通过考虑$n=0$（即平均值）没有定义。

其他傅立叶系数也可能未定义（但正如基里尔已经指出的那样，有些很可能存在）。

无论如何，这种函数的傅里叶级数的存在是注定的。

应用 Cauchy-Schwartz 不等式，我们有：

$$\begin{aligned} \left(\int_{0}^{\pi}f(x)\cos{(x)}\,dx \right)^2&\leq \left(\int_{0}^{\pi}|f(x)\cos{(x)}|\,dx \right)^2\\ &\leq \int_{0}^{\pi}f(x)^2\,dx \int_{0}^{\pi}\cos{(x)}^2\,dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f(x)^2\,dx \end{aligned}$$

而如果$f(x)\notin {L}^2(x)$那么傅立叶系数是没有界的。