计算科学 - 对向量相对误差的直觉 - 吾爱随笔录 - 问答

对向量相对误差的直觉

计算科学准确性

2021-12-15 05:23:21

我试图理解向量中的相对误差的概念 $\mathbb{R}^n$ ，但它不是以某种方式“点击”。

ε - r e l (x_{approx}, x) = \frac{| | x_{approx} - x | |}{| | x | |}

$\operatorname{\varepsilon-rel}(x_\text{approx}, x) = \frac{||x_\text{approx} - x ||}{||x||}$

我对两个正实数之间的相对误差的直觉是它是对称事物的近似值

ε - r e l (x_{approx}, x) \approx \log (x_{approx}) - \log (x)

$\operatorname{\varepsilon-rel}(x_\text{approx}, x) \approx \log(x_\text{approx})-\log(x)$ 我可以将其视为（有符号的）距离度量。

以下是我可以说的关于向量案例的内容：

它在旋转下是不变的
在均匀缩放下它是不变的
如果 $x$ 和 $x_\text{approx}$ 是共线的，比如说 $x_\text{approx} = \alpha x$ ，然后你恢复相对误差

但是 3. 有点崩溃的时候 $\alpha < 0$ . 单变量相对误差为 $\infty$ 如果符号不同，则多元变量不是。

如果错误 $x - x_\text{approx}$ 正交于 $x$ 然后 $\operatorname{\varepsilon-rel}$ 是个 $\sin$ 之间的角度 $x$ 和 $x_\mathrm{approx}$ .

您的想法将不胜感激。

1个回答

您在考虑一维的相对误差，我希望这是您困惑的根源。

如果我测量一只蚂蚁的长度，我偏离了 1 毫米，这很重要。但是，如果我改为测量从地球到月球的距离，并且我偏离了相同的量，那么出于所有实际目的，我的测量结果是完美的，相对于 1 毫米的距离是如此之小，它可以有效地被认为是零。这就是相对误差的衡量标准。在这两种情况下，绝对误差是相同的，但是第一次测量的相对误差比第二次测量的大得多。这在其他向量空间中的适用程度取决于您正在使用的范数的诱导度量是否可以公平地说来衡量一个向量与另一个向量的“接近程度”。（诱导度量是值 $\Vert v-w \Vert$ ）。在它发生相对误差的情况下，它表示/测量/意味着它在一维中所做的事情。在没有的情况下，相对误差显然仍然是明确定义的，但没有任何意义。它可能会弹出，但在这些情况下，它不再被称为相对误差。有时，除了欧几里得范数之外的其他范数更适合捕捉这个想法。“取决于上下文”这句话在数学中的重要性怎么强调都不为过。

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