如前所述，方程不正确，但当乘以测试函数时，需要在变分意义上进行解释。为此，考虑运算符 这里，是一个函数。现在，想象一下它的导数是什么。在某些方向上最常考虑运算符的导数。所以我们可以表示 如果你通过极限运动，你会发现 如果你愿意，你可以定义算子的导数，

$$L(\phi) = |\nabla \phi|^2.$$ $\phi=\phi(x)$ $v(x)$ $$L'(\phi)(v) = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{L(\phi+\varepsilon v)-L(\phi)}{\varepsilon}.$$ $$L'(\phi)(v) = 2 \nabla \phi \cdot \nabla v.$$ $L'(\phi)$（或者，在你的符号中， as 这是一个操作符，无论它适用于。$\frac{\partial}{\partial\phi}L(\phi)$ $$L'(\phi) = 2 \nabla \phi \cdot \nabla$$

你可以扩展它。假设您认为的函数存在于域上，并且。（换句话说，你假设。）如果你定义一个函数 将数字与每个函数相关联，然后您可以再次询问在方向上的导数是多少。你得到 你可以将最后一个公式按部分积分，两者都使用$\phi$$\Omega\subset {\mathbb R}^d$$\phi|_{\partial\Omega}=0$$\phi \in H^1_0(\Omega)$

$$J(\phi) = \int_\Omega L(\phi) = \int_\Omega |\nabla \phi|^2$$ $\phi$$J$$v$ $$J'(\phi)(v) = \int_\Omega L'(\phi)(v) = \int_\Omega 2\nabla \phi \cdot \nabla v.$$ $\phi$和在边界上为零，得到 正是在这种情况下您在问题中引用的术语出现。但是你引用的公式本身就是错误的。$v$ $$J'(\phi)(v) = \int_\Omega\left[ -2\nabla \cdot \nabla \phi\right] v.$$

我想不是这样的：

$\frac{\partial}{\partial \phi}\left (\frac{\partial \phi}{\partial x_i}\frac{\partial \phi}{\partial x_i}\right) =-2 \frac{\partial }{\partial x_i}\frac{\partial \phi }{\partial x_i}$