基于仿真的优化和 PDE 约束优化有什么区别？
学习基于模拟的优化的文本是否足以理解和应用两者？
基于仿真的优化与 PDE 约束的优化
计算科学
优化
pde
模拟
约束优化
2021-12-21 05:55:35
1个回答
两种方法都适用于同一个问题（涉及 PDE 解的泛函的数值最小化，尽管两者都扩展到更大的问题类别）。困难在于，对于除学术示例之外的所有示例，PDE 的数值解都需要大量的自由度，这 a）意味着需要很长时间；b）通过有限差分计算梯度和 Hessians 是完全不可行的。有两种处理方法：
您可以将 PDE 的数值解作为一个黑匣子，在给定设计值的特定选择的情况下给出解。这使您可以在某一点评估泛函，但不能评估任何导数。幸运的是，有许多无导数优化方法（通常）比盲目猜测（在某种程度上）更有效。1 这似乎就是您所说的基于模拟的优化。
您可以使用诸如隐函数定理或拉格朗日乘数演算等数学工具来给出 PDE 解的导数的解析、精确表征，这通常是适当线性化 PDE 的解，可以使用与原始模型相同（如果不是更简单）的工具。然后，这些可用于表征和数值计算要最小化的函数的梯度和 Hessians，这意味着您可以应用更快的方法（因为它们使用更多信息），例如最速下降、非线性共轭梯度或（准牛顿）方法。这就是 PDE 约束优化所做的。
如您所见，这些方法非常不同，尤其需要不同的数学背景。因此，期望阅读关于基于模拟的优化的书会给您提供理解 PDE 约束优化的工具是不合理的（一本关于 PDE 约束优化的书也不会告诉您无导数优化方法）。如果您想了解更多关于后者的信息，一本很好的介绍性（尽管仍然是数学）教科书是
De los Reyes，Juan Carlos，数值 PDE 约束优化，SpringerBriefs in Optimization。Cham：Springer（ISBN 978-3-319-13394-2/pbk；978-3-319-13395-9/电子书）。x，第 123 页。（2015 年）。ZBL1312.65100。
网上也有很多优秀的讲义。
1是的，我有偏见。当然，如果你只有一个模拟某个过程的软件，而没有人会告诉你它（试图）解决的 PDE 究竟是什么，那么基于模拟的优化几乎是城里唯一的游戏。