计算科学 - 将函数插值到网格上会产生不同的结果，具体取决于网格密度 - 吾爱随笔录

我想测试我的程序的数值准确性。为此，我想插入函数

f = I_{0} \exp (- 100 x^{2}) \exp (- 100 y^{2})

$f=I_0\exp\left(-100x^2\right)\exp(-100y^2)$ 到一个网格上，定义在

Ω = [0, 1]^{2}

$\Omega=[0,1]^2$ 通过使用方程

u = f

$u=f$ 和连续伽辽金法。
此外，我将结果与预期的（插值）函数进行了比较。边界条件是

\vec{n} \cdot u = 0

$\vec{n}\cdot u=0$
现在我希望最低值是

0

$0$ (

\exp (- 100) \exp (- 100) \approx 1.3 \cdot 10^{- 87}

$\exp(-100)\exp(-100)\approx1.3\cdot10^{-87}$ )，无论网格大小如何，而是我得到（对于

I_{0} = 1

$I_0=1$ )

+---------------+---------------+
| cell number   |  Lowest value |
+---------------+---------------+
| 16            |  -0.003398    |
| 64            |  -1.434e-5    |
| 256           |  -5.822e-10   |
| 1024          |  -4.559e-32   |
| 4096          |  0            |
+---------------+---------------+

这些值对于较小的值没有问题 $I_0$ ，但只要 $I_0$ 增加我必须使用更精细的网格，否则我的值将变为负值。它也无助于细化原点周围的网格，值在 $(1,1)$ 仍然是负数，除非我在任何地方都使用临界网格密度。
这些数字错误，还是方法本身造成的错误？有没有办法让网格的密度在低梯度的地方低于临界密度（例如在 $(1,1)$ )，没有得到“不正确”的结果？