我正在为求解以下矩阵方程：$\mathbf{x}$

• $J$是矩阵$m\times n$
• $\mathbf{x}$是大小为$n$
• $\mathbf{r}$是大小为$m$

此外，。$m\gg n$

有时非常大（例如 1000）并且，因此即使使用双精度数字也无法进行标准乘法。$n$$J$$10^{128}$

我发现用非零值缩放对结果有可预测的影响（它与将上述等式的两边乘以标量具有相同的效果），所以我正在考虑计算一个比例因子，以便可以解决上述等式没有溢出。然而，太小的比例因子也会危及矩阵乘法的准确性。$J$

此外，可以包含非常小和非常大的值。$J$

所以问题是如何选择一些比例因子，以便我们可以用，避免数字太大，同时保持乘法的高精度。$s$$J$$sJ$

我的想法：

• 使中元素的平均值/中位数等于例如$J$$10^3$
• 根据其最大列的总和缩放$J$
• 找到一些“预处理器”矩阵并用代替 ...预处理解可以使用逆变换获得，但是可以变得非常大，因为它必须是$A$$J$$AJ$$A$$m\times m$

有任何想法吗？