这确实是一个太大的问题，无法在一篇文章中提出，因为至少需要解决两个步骤：离散化和特征求解。

第一步是您需要离散化作为问题基础的偏微分方程。当然有很多方法可以做到这一点，有限元法和有限差分法是两种流行的方法。

第二个是找到这个离散问题的特征值和特征向量。这比 1d 困难得多，因为矩阵通常要大得多，因此方法也更昂贵。同样，有许多可用的方法（并且它们在高质量的库中可用）。

如果您想看到其中的一些实际操作，这里是 deal.II 库的教程程序，它向您展示了其中的一些：http ://dealii.org/developer/doxygen/deal.II/step_36.html （免责声明：我是这个库的作者之一。）

主要区别在于维度，这反映在矩阵中。在 1D 中，例如，使用 (FEM) 有限元法或 (FDM) 有限差分法，刚度 (Hamiltonian) 矩阵是三对角矩阵。在 2D 中，对于 FDM，刚度矩阵是五对角矩阵，对于具有线性或双线性元素的 FEM，刚度矩阵是八对角矩阵，使用结构化网格。对于质量（重叠）矩阵，我们有 FDM 的单位矩阵和 FEM 的八对角矩阵。根据求解器的不同，矩阵的存储也是需要考虑的一个因素。除了尺寸上的这些变化之外，过程是相似的：你首先看$m$特征值/特征向量。

通常，势是在无界域上定义的，您需要做以下两件事之一：

• “截断”它，使其在某个区域之外的价值无限。或者，等效地使函数为零（人工Dirichlet BCs）；要么
• 使用某种类型的近似域的无界性的 BC，例如吸收边界条件或无限元。

关于对称性，您可以使用正确的 BC 获得具有这些对称性的更小的网格。例如，量子谐波振荡器具有对称和反对称模式。对于对称的我们有$f'(x=0)=0$, 对于反对称的情况$f(x=0)=0$.

TL；DR，如果您对简单案例和 FEM 感兴趣，我建议您使用 FDM，因为它可以更自然地处理边界条件。