计算科学 - 一阶耦合 pdes - 吾爱随笔录

可能的问题是关于解决以下系统的可能方法

\begin{array}{rcl} \nabla n & = & n E, \\ \nabla \cdot E & = & 1 - n, \end{array}

$\begin{array}{rcl} \nabla{n}&=&n\,\mathbf{E},\\ \nabla\cdot\mathbf{E}&=&1-n, \end{array}$ 通常具有一些边界条件（BC）。特别是，我有兴趣在极坐标中解决它

\begin{array}{rcl} \partial_{r} n & = & n E_{r}, \\ \partial_{φ} n & = & r n E_{φ}, \\ \partial_{r} (r E_{r}) + \partial_{φ} (E_{φ}) & = & r (1 - n), \end{array}

$\begin{array}{rcl} \partial_rn&=&nE_r,\\ \partial_{\varphi}n&=&rnE_{\varphi},\\ \partial_r{(rE_r)}+\partial_{\varphi}{(E_{\varphi})}&=&r(1-n), \end{array}$ 加上一些公元前。

有什么建议？

更新 1

根据@nicoguarolet 的要求，假设边界条件如下

\begin{matrix} {n (r, φ) |}_{r = r_{L}} = n_{0} \approx 1, {E_{φ} \equiv E_{r} (r, φ) |}_{r = r_{L}} = E_{0} \approx 0, \\ {\partial_{r} E (r, φ) |}_{r = r_{R}} = 0, \end{matrix}

$\begin{array}{c} \left.n(r,\varphi)\right|_{r=r_L}=n_0\approx1,~ \left.E_{\varphi}\equiv E_r(r,\varphi)\right|_{r=r_L}=E_0\approx0,\\ \left.\partial_rE(r,\varphi)\right|_{r=r_R}=0,\\ \end{array}$ 在哪里

[r, φ] \in [r_{L}, r_{R}] \times [φ_{L}, φ_{R}] .

$[r,\,\varphi]\in[r_L,\,r_R]\times[\varphi_L,\,\varphi_R].$ 希望，我没有错过一些。