计算科学 - 图像和域不相同时的定点迭代 - 吾爱随笔录

计算科学迭代法寻根固定点

2021-12-12 10:41:20

我在域，但是图像可能包含不包含在其域中的额外区域。我对求解定点方程很感兴趣。如果我进行定点迭代： $f(x)$ $D$ $f(D)$ $x=f(x)$

x_{n + 1} = f (x_{n})

$x_{n+1} = f(x_n)$

从点开始，我冒着某个点落在域之外的风险。 $x_0\in D$ $x_n\notin D$

有处理这种的技术吗？为简单起见，我们假设中是平滑的。 $f$ $f$ $D$

1个回答

您可以修改迭代，例如通过包含投影。这是因为如果确实是函数的不动点，即，那么它也是的不动点，其中是某种运算所以上的正交投影，如果是一个凸集。但任何其他满足上述陈述的东西也是有效的。 $x\in D$ $x=f(x)$ $x=\Pi(f(x))$ $\Pi$

Π (x) = {\begin{cases} x & if x \in D \\ some y \in D & otherwise . \end{cases}

$\Pi(x) = \begin{cases} x & \text{if $x\in D$} \\ \text{some $y\in D$} & \text{otherwise}. \end{cases}$

D

$D$

D

$D$

所以，有了这个，你的迭代就变成了并且避免了走出域的问题。 $x_{n+1}=\Pi(f(x_n))$

然而，您需要回答的问题是组合运算是否仍然是收缩。如果您的不动点位于的内部，那么如果是处的收缩，那么显然也是处的收缩。但可能离定点不远，迭代会收敛也不是很明显。 $\Pi\circ f$ $D$ $f$ $x$ $\Pi\circ f$ $x$

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