我发现自己必须解决

$-\Delta u = f$在笛卡尔网格点的子集上，不一定形成受齐次 Dirichlet 边界条件 ( ) 的长方体域。我需要的拉普拉斯滤波器是用于 3D 的标准 7 点模板。$u = 0$

现在，对于长方体域，我知道这可以使用 I 型离散正弦变换 (DST) 有效地解决，因为 DST 对方程系统进行了对角化。

我想知道，是否可以将快速 DST 用于非长方体的域。它仍然是笛卡尔网格，但只是一个子集，不一定是凸的并且可能包含孔。

是否有可以利用笛卡尔网格结构的快速算法？还是我必须使用更通用的求解器（例如代数多重网格预处理共轭梯度法或类似的方法）？

也许有一种有效的方法可以将我的问题减少到另一个具有包容性长方体域的问题，所以我仍然可以使用 DST？据我所知，我可以在我的实际边界上引入中的源项，以便基于 DST 的方法将重建零边界。但问题在于，确定这些源项似乎需要求解一个大而“丑陋”的线性方程组（密集矩阵，不能简单对角化）。$f$

对于这个问题，您推荐的解决方案是什么？未知数以千万计。