计算科学 - 显示对称 Gauss-Seidel 收敛于任何X0x0 - 吾爱随笔录

让 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 是对称正定的，考虑求解线性系统 $Ax = b$ . 证明对称 Gauss-Seidel 迭代收敛于任何 $x_0$ .

解决方案 - 自 $A$ 是对称正定的并且 $A = D - L - U$ 是通常划分为对角线、严格下三角和严格上三角元素，我们有

P_{s g s} = (D - L) D^{- 1} (D - U) = C C^{T}

$P_{sgs} = (D - L)D^{-1}(D - U) = CC^T$ 在哪里

C

$C$ 是具有正对角元素的非奇异下三角形，因此

P_{s g s}

$P_{sgs}$ 是对称正定的。自从

A

$A$ 和

P

$P$ 都是对称正定的，那么我们可以使用这样的结果，如果对称矩阵

2 P - A

$2P - A$ 是正定的，则迭代收敛。计算

2 P - A

$2P - A$ 产量

\begin{aligned} 2 [(D - L) D^{- 1} (D - U)] - A \end{aligned}

$\begin{align*} 2\left[ (D-L)D^{-1}(D - U)\right] - A \end{align*}$

在我继续我的教授解决方案之前 $U = L^T$ 然后在推动矩阵之后 $2P - A = A + 2LD^{-1}L^T$ 其中我们得出结论，因为这是两个对称正定矩阵的和，因此也是对称正定矩阵。因此，对称 Gauss-Seidel 迭代收敛于任何 $x_0$ .

我不直观为什么他让 $U = L^T$ 并且产生解决方案的代数或矩阵移位对我来说根本没有任何意义。非常感谢任何建议。