平方和应该加起来等于 MATLAB 所说的加起来，即对于$F:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$

$$r(x) = \sum\limits_{i=1}^{n}(F_i(x))^2$$

然后很容易将的梯度计算为 ，其中是的雅可比行列式。$r$

$$\nabla r(x) = J(x)^TF(x)$$ $J$$F$

现在让我们尝试逆向工程，如果这确实是 MATLAB 的意思。由于问题中没有具体说明什么是，因此我尝试了$F$fsolve

$$F = \begin{pmatrix}e^{e^{-(x_1+x_2)}}-x_2*(1+x_1^2) \\x_1*\cos(x_2)+x_2*\sin(x_1)-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$$ ,

这是在 fsolve 的 MATLAB 文档页面中找到的示例：

https://se.mathworks.com/help/optim/ug/fsolve.html

下面的代码片段解决并打印出 r 的平方和和梯度的范数。$F(x) = 0$

f = @(x) [exp(exp(-(x(1)+x(2))))-x(2)*(1+x(1)^2);x(1)*cos(x(2))+x(2)*sin(x(1))-0.5];

x_ = fsolve(f,[0 0]);

r = norm(f(x_))^2 %Sum of squares

%Estimate the gradient of r using finite differences
h = 1e-12;
J_t = (1/h)*[f(x_+[h,0])-f(x_),f(x_+[0,h])-f(x_)];%Transpose of Jacobian
norm_gradr = norm(J_t'*f(x_)) %Norm of gradient of r

理想情况下，您会通过手动微分找到雅可比行列式。这是使用有限差分的惰性估计，但它可以完成工作。输出是：

r =

   6.8935e-23


norm_gradr =

   9.8783e-12

Equation solved. The sum of squared function values, r = 6.893461e-23, is less than
sqrt(options.FunctionTolerance) = 1.000000e-03. The relative norm of the gradient of r,
9.832419e-12, is less than options.OptimalityTolerance = 1.000000e-06.

Optimization Metric                                         Options
relative norm(grad r) =   9.83e-12              OptimalityTolerance =   1e-06 (default)
r =   6.89e-23                              sqrt(FunctionTolerance) =  1.0e-03 (default)

这一简短的逆向工程证实，如果是 MATLAB 计算的解，那么当它说“平方和”时，” 当它说“相对规范（grad r）”时。$x_*$$r(x_*)$$\|\nabla r(x_*)\|_2 = \| J^T(x_*)F(x_*)\|$

您应该再次检查平方和的计算。