关于如何检查的问题（我建议将其拆分为和，因为通常不会是分段多项式），这对于分段常数函数和分段线性函数（其最大值和最小值总是在节点中获得）相当容易，因为在那里比较相应向量的系数就足够了。对于高阶近似，这不再是正确的。（我假设也是相同阶的有限元函数，否则您将遇到与高阶近似相同的问题。）$|v|<g$$v(x)<g(x)$$v(x)>-g(x)$$|v|$$g$

但问题不是“几乎无处不在”（因为有限元函数在每个元素上总是连续的），而是您需要将每个元素上的积分分离为 和的贡献组装由非线性产生的项。$T$$T\cap A$$T\setminus A$

最简单的方法是使用的分段常数近似值，从那时起或。$v$$T\cap A= T$$T\cap A=\emptyset$

对于高阶近似，您可以通过以下任一方式近似积分

1. 将非线性分量应用于相对于（节点）基础的膨胀系数向量，并将其乘以（集总）质量或刚度矩阵（取决于该术语的确切出现位置，您尚未告诉我们）或

2. 使用正交方案来评估非线性。

如何在 FEniCS 中做到这一点在这里是题外话（但对于 2.，请quadrature与 UFL 一起查看元素conditional）；可以使用 Strang 引理估计由该近似值引起的误差。

编辑： 我看到您已经在那里发布了您的问题，但是这个较旧的问题可能是您正在寻找的更多内容。

可计算性不是您唯一的问题。你怎么知道你的有限元近似保留了这个属性？实际上，不难证明没有线性逼近方案可以为所有人做到这一点$f$和$g$，一旦你在某处犯了一个错误，整个 PDE 近似值可能会变得毫无价值（当然，这取决于 PDE）。老实说，你的定义$f(v)$在任何 PDE 的上下文中，对我来说看起来都非常可疑。你确定你真正需要的不是