对于实值函数 g(x)，您可以执行以下操作，

$$\begin{equation} \frac{\textrm{d} f}{\textrm{d} x}= \frac{\textrm{d} f}{\textrm{d} g}\frac{\textrm{d} g}{\textrm{d} x} \approx \frac{\textrm{d} f}{\textrm{d} g}\frac{\textrm{Im}\left\{g(x+i\epsilon)\right\}}{\epsilon} \end{equation}$$ 在哪里$i$是虚数。$\textrm{Im}\{z\}$给出复数 z 的虚部.

您可以用任何可以对复数进行运算的语言来实现它。你可以有非常小的$\epsilon$, 有小的截断误差$O(\epsilon^2)$ 并避免减法取消错误。我不知道它有多快，但实施起来非常快。

有关更多详细信息，请参阅，

乡绅，威廉；Trapp, George，使用复变量估计实函数的导数，SIAM Rev. 40, No.1, 110-112 (1998)。ZBL0913.65014。