我尝试检查 2 个 Fisher 矩阵之间的等式或不等式。

目标也是查看投影（使用雅可比行列式）和边缘化（矩阵反转并删除行/列和重新反转）是否可以通勤。

这两个矩阵中的每一个的计算方式都略有不同。这 2 个矩阵是 Fisher 矩阵。

实际上，这是在每行/列的初始参数和最终矩阵的最终参数之间更改参数的计算。这就是为什么在这两种计算中，我都使用雅可比 J 来制定初始参数和最终参数之间的导数：

公式为：$F_{\text{final}} = J^T F_{\text{initial}} J$

第一个矩阵的大小为 5x5，第二个矩阵的大小为 4x4。除了第 4 行/列之外，它们是相同的。

1. 首先：我对 5x5 矩阵求逆（给出 5x5 协方差矩阵）。然后，我“边缘化”，也就是说，我删除了这个协方差矩阵的第 4 行/第 4 列。然后，我再次逆得到一个 4x4 矩阵。

最后，我使用 Jacobian 4x4 执行投影，公式为：：所以我最后得到一个 4x4 矩阵$F_{\text{final}} = J^T F_{\text{initial}} J$

2. 对于要构建的第二个矩阵：我正在对 5x5 第二个矩阵进行直接投影（我记得它与 5x5 相同，除了第 4 行/列）。

我使用 Jacobian 5x5 执行此投影。然后我得到第二个投影矩阵 5x5。最后，我删除了这个 5x5 矩阵的第 4 行/列，得到一个 4x4 矩阵的新投影矩阵。

我想知道在什么条件下我可以在 2 个 4x4 矩阵之间具有相等性。我不知道我的方法是否正确。

为了给你看一个实际的例子，我在下面放了一个小 Matlab 脚本，它试图遵循上面解释的所有推理：

clear;
clc;

% Big_31 Fisher : 
FISH_Big_1_SYM = sym('sp_', [4,4], 'real');
% Force symmetry for Big_31
FISH_Big_1_SYM = tril(FISH_Big_1_SYM.') + triu(FISH_Big_1_SYM,1);

% Big_32 Fisher : 
FISH_Big_2_SYM = sym('sp_', [5,5], 'real');
% Force symmetry for Big_32
FISH_Big_2_SYM = tril(FISH_Big_2_SYM.') + triu(FISH_Big_2_SYM,1);

% Jacobian 1 
J_1_SYM = sym('j_', [4,4], 'real');
% Jacobian 2 
J_2_SYM = sym('j_', [5,5], 'real');

% Remove 3th row/column
J_2_SYM(4,:) = [];
J_2_SYM(:,4) = [];

% Projection
FISH_proj_1 = J_1_SYM'*FISH_Big_1_SYM*J_1_SYM;
size(FISH_proj_1)

% Invert Fisher_2
COV_Big_2_SYM = inv(FISH_Big_2_SYM);

% Remove 3th row/column
COV_Big_2_SYM(5,:) = [];
COV_Big_2_SYM(:,5) = [];

% Re-inverse
FISH_Big_2_SYM_new = inv(COV_Big_2_SYM);

% Projection 2x2
FISH_proj_2 = J_2_SYM'*FISH_Big_2_SYM_new*J_2_SYM;
size(FISH_proj_2)

% Test equality between 2 matrices
isequal(FISH_proj_1,FISH_proj_2)

这个脚本的问题是即使我有小矩阵（5x5 或 6x6），代码在执行时使用 Matlab Symbolic 非常慢，我到现在还无法得出结论。

我希望已经清楚了，如果我的解释不够准确，请不要犹豫，询问更多信息。