计算科学 - 边界上有限元投影算子的逼近性质 - 吾爱随笔录

计算科学有限元投影

2021-12-15 16:03:58

我们有一个椭圆投影

P : V \to V_{h}

$P: V \rightarrow V_{h}$

满足

‖ u - P u ‖_{L^{2} (Ω_{e})} \leq C h^{k + 1} .

$\Vert u - Pu \Vert_{L^{2}(\Omega_{e})} \leq Ch^{k+1} \enspace .$

我们能说一下吗？ $\Vert u - Pu \Vert_{L^{2}( \partial \Omega_{e})}$

我知道如果我们使用 Trace 定理，我们可以用来限制它，但我不想失去收敛的顺序。 $h^{k}$

1个回答

如果你使用更清晰的迹不等式，你会得到暗示正如 Wolfgang 在评论中建议的那样。

\begin{aligned} ‖ u - P u ‖_{0, \partial Ω}^{2} & ≲ ‖ u - P u ‖_{0} ‖ u - P u ‖_{1} \\ ≲ h^{k + 1} h^{k} | u |_{k + 1}^{2} \end{aligned}

$\begin{aligned}\|u-Pu\|_{0,\partial \Omega}^2 &\lesssim \|u-Pu\|_0 \|u-Pu\|_1 \\ &\lesssim h^{k+1} h^{k}|u|^2_{k+1} \end{aligned}$

‖ u - P u ‖_{0, \partial Ω} ≲ h^{k + \frac{1}{2}},

$\|u-Pu\|_{0,\partial \Omega} \lesssim h^{k+\frac12},$

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