计算科学 - 实际应用中的大规模非对称特征值问题 - 吾爱随笔录

我正在尝试确定解决工业界和学术界大规模非对称特征值问题的需求。

我对我们不能假设矩阵是对称的任何类型的问题感兴趣。这包括标准特征值问题、广义特征值问题以及二次特征值问题。我对稀疏和密集的问题感兴趣。

小编辑：我对只需要计算几个特征对的问题不感兴趣。这排除了例如移位逆幂迭代就足够的情况。

这个问题的理想答案包括对至少一个应用程序的参考，其中绝对有必要解决大规模非对称特征值问题。

绝大多数现有库仅支持对称标准和广义特征值问题。我认为这有两个很好的理由：

大量应用会产生对称特征值问题。
非对称特征值问题比对称特征值问题更难。

LAPACK 包含用于解决密集非对称和广义特征值问题的完整堆栈，但计算特征向量的例程基于 BLAS 1 级和 2 级函数。ScaLAPACK 从未完成对非对称特征值问题的支持，并且现有的计算特征向量的例程要么容易溢出，要么根本无法扩展。新的StarNEig库可以计算非对称标准和广义特征值问题的所有特征值/特征向量。它适用于实数且具有实数/复特征值/特征向量的矩阵/矩阵铅笔。它可以比具有并行 BLAS 和 ScaLAPACK 的 LAPACK 快得多。

我已经隔离了一些失去对称性的应用程序。

示例 1在结构工程中，我们发现二次特征值问题

(λ^{2} M + λ C + K) x = 0.

$(\lambda^2 M + \lambda C + K)x = 0.$ 这个问题等价于广义特征值问题

A x = λ B x

$Ax = \lambda B x$ 在哪里

A = [\begin{matrix} 0 & K \\ K & C \end{matrix}], B = [\begin{matrix} K & 0 \\ 0 & - M \end{matrix}], y = [\begin{matrix} x \\ λ x \end{matrix}] .

$A = \begin{bmatrix} 0 & K \\ K & C \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} K & 0 \\ 0 & - M \end{bmatrix}, \quad y = \begin{bmatrix} x \\ \lambda x \end{bmatrix}.$ 我们看到

A

$A$ 和

B

$B$ 当质量矩阵是对称的

M

$M$ , 刚度矩阵

K

$K$ 和阻尼矩阵

C

$C$ 都是对称的。然而，阻尼陀螺系统的特征值问题采用以下形式

(λ^{2} M + λ (C + G) + K) x = 0

$(\lambda^2 M + \lambda (C + G) + K)x = 0$ 在哪里

G

$G$ 是一个斜对称矩阵。我们看到对称矩阵

C

$C$ 已替换为一般非对称矩阵

C + G

$C + G$ . 我们看到等价的广义特征值问题不再是对称的。

我想像喷气发动机、燃气轮机和螺旋桨这样的旋转设备可以使用阻尼陀螺仪系统来表示，但我不知道这是事实。

示例 2在电气工程中，我们发现许多非对称特征值问题的示例。本文对可用软件进行了调查，发现了两个广义特征值问题。这些例子是来自欧洲的电力网络。本文介绍了一种由于存在压控电流源而导致节点电导矩阵不对称的电路。在本文中，作者需要标准特征值问题的所有左/右特征向量。

我的根本问题是我缺乏工程知识和必要的关键词来追踪处理大规模非对称特征值问题的论文。我可以构建非对称的小玩具示例，但我不能权威地说它们的较大兄弟姐妹在实践中具有远程相关性。这就是我希望这个社区可以帮助我的地方。