让我们考虑具有 Neumann 边界条件在二维中。$\nabla^2 u(\bf{x})=\rho(x)$$\bf{x}=\it (x,y)$

和方向上有中心差异的模板（请原谅我在垂直方向上的标签，它应该是）方向。 $x$$y$$t$$y$

与。更具体地说，我们有等式：$\beta=\Delta x/\Delta y$

$$\begin{eqnarray*} w_{i+1 j} -2 w_{ij} \left ( 1 + \beta^2 \right) + w_{i-1 j} + \beta^2 (w_{i j+1} + w_{i j-1}) = \Delta x^2 \rho(x,y) \end{eqnarray*}$$

我们可以在一维的（双曲线）波动方程中得到一个类似的模板，其中时间是（垂直轴）。我们总是可以 根据所有其他 ，其中和 。距离边界 1 个单元格的点可以用鬼边界条件计算（假设 Neumann BC 的导数等于 0）。$y$$w_{i j+1}$$w_{lm}$$l=i,i+1,i-1$$m=j,j-1$

我一直在寻找几个小时，所有文献都向我展示了一种隐式方法，我需要在其中反转一个巨大的矩阵。椭圆方程没有像我们以空间和时间为中心的一维波显式解那样求解，是否有特定的原因？$(n-1 \times m-1)$

或者......如果它可以解决，有没有地方可以寻找那个解决方案？谢谢。