计算科学 - Chebychev 多项式的导数 - 吾爱随笔录

计算科学 matlab 近似多项式自动分化

2021-12-18 02:31:58

我正在使用 Chebychev 搭配节点进行近似，我的问题需要我计算多项式的导数。我一直在阅读一些资料，但我不确定我是否理解如何去做。谁能帮我解决这个问题？

非常感谢。

阿努普

1个回答

一个特定的多项式和任意数 $k$ 可以使用霍纳的方法评估其导数。的情况下 $k = 2$ 在这里讨论。

如果您需要所有次数小于的切比雪夫多项式 $n$ 及其一阶导数，我建议您直接从定义的递归关系开始。

对于第一类切比雪夫多项式，我们有

T_{0} (x) = 1, T_{1} (x) = x, T_{k + 1} (x) = 2 x T_{k} (x) - T_{k - 1} (x) .

$T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x, \quad T_{k+1}(x) = 2xT_{k}(x) - T_{k-1}(x).$ 让

Q_{k}

$Q_k$ 表示导数

T_{k}

$T_k$ 关于

x

$x$ . 然后由微分的乘积法则

Q_{0} (x) = 0, Q_{1} (x) = 1, Q_{k + 1} (x) = 2 T_{k} (x) + 2 x Q_{k} (x) - Q_{k - 1} (x)

$Q_0(x) = 0, \quad Q_1(x) = 1, \quad Q_{k+1}(x) = 2 T_k(x) + 2x Q_k(x) - Q_{k-1}(x)$ 因此，任何计算的代码

T_{k}

$T_k$ 为了

k = 0, 1, 2, \dots, n

$k=0,1,2,\dotsc,n$ 可以很容易地扩充以产生衍生物

Q_{k}

$Q_k$ 为了

k = 0, 1, 2, \dots, n

$k=0,1,2,\dotsc,n$ .

如果需要运行错误界限，那么此处应用的原则也可以扩展到涵盖您的情况。

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