你无法解决没有解决方案的问题

该矩阵是奇异的，因此系统具有零解或无限解。对于您的系统，我认为可以使用一些 Perron-Frobenius 理论来证明零：存在一个非负向量，使得$Sv=v$， 因此$0=x(I-S)v=bv > 0$， 矛盾。（那些$x$和$b$是行向量，对吗？）

基本线性代数指出$\det(I-S)$必须非零，以便存在线性系统的解决方案。另一方面，如果行列式（数值上）为零，则系数矩阵中的基向量不会跨越整个向量空间，因此您无法构造一般的右侧。想想这张图：$(I-S)$$b$

在示例中，rhs是具有分量的 3D 向量，但系数矩阵中的向量仅跨越平面。所以，你能做的最好的就是在平面上重现向量，而忘记方向。也就是说，您基本上解决了向量在平面通过这种方式，您只能确定解向量中的三个参数和第三个参数无法确定，通常设置为零（使尽可能小）。$b$$z$$x-y$$x-y$$z$$b^{||}$$b$$x-y$$x_1$$x_2$$x_3$$||x||$

为此，有几种可用的正则化方法。两个基本的是 SVD 和岭回归：

• 奇异值分解提供了一种简单的方法来形成伪逆。它用于将矩阵分解为，其中是奇异值的对角矩阵。现在伪逆是通过反转中的所有条目形成的，并将那些大于设置为零（其中是一个小的截止参数）。$(I-S) = U D V^T$$D$$D$$D_i$$1/\epsilon$$\epsilon$

• 在岭回归中，也就是 L2 或 Tikhonov 正则化，您将一个小项添加到矩矩阵的对角线，然后它变得规则，以便可以求解线性系统。$\alpha$$(I-S)^T(I-S)$

在极限中的向量所跨越的子空间中的解。$\alpha,\epsilon \rightarrow 0$$(I-S)$

顺便澄清一下：这不是解决方案，而是解决方案的近似值。所以@FredericiPoloni 的答案仍然成立。这只是一种解决方法。