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为什么在 FFT 中会出现频谱泄漏？

信息处理 fft 频谱

2022-01-08 01:20:11

我试过谷歌搜索和维基百科，但除了“这是因为输入信号的频率位于两个箱之间”之外，我没有得到任何答案。

我知道这是原因，但我无法理解的是为什么泄漏似乎延伸到几个相邻的垃圾箱，而不仅仅是一个相邻的垃圾箱。

为了说明我在说什么，这里有一些模拟数据（代码在帖子末尾）：频率_10

上图是频率为 10 的正弦波的 FFT 频谱（以对数刻度绘制）。采样率为 1，样本数为 100。该图已进行 FFT 移位。显然，在 bin 10 处只有一个峰值，其余的都在数值误差的数量级上，或者差不多。

频率_10_1

这是生成频率为 10.1 的频谱。显然，除了紧邻的垃圾箱之外，还有更多垃圾箱“泄漏”。

频率_10_5

这是频率为 10.5 的图。

问题：为什么会出现这种泄漏，为什么它会延伸到所有其他垃圾箱，而不是直接相邻的垃圾箱？

代码，任何有兴趣的人（Python代码）

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

xFreq = 10.5
xSize = 100.0
xPeriod = xSize/xFreq
x = np.linspace(1,xSize,xSize)

data = np.sin(2*np.pi*x/xPeriod)
fft = np.fft.fft(data)
fft = np.fft.fftshift(fft)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(abs(fft), "o")
ax.set_yscale('log')
plt.show()

我将xFreq值从更改10.0为10.5等。

2个回答

FFT 具有有限长度，因此构成数据流上的默认矩形窗口。时域中的窗口导致频域中的卷积与窗口的变换。请注意，矩形窗口的变换是一个 Sinc 函数 (sin(x)/x)，它具有无限宽。这不仅仅是 2 个箱子的宽度。因此，Sinc 函数的波纹将显示为远离任何在 FFT 长度上不是完全周期性的光谱峰值的“泄漏”。

下图显示了 sinc 函数的部分频率响应。当音调以其中一个箱为中心时，所有其他点都与频率响应中的零点对齐。如果它不是以一个 bin 为中心，那么就像移动整个频率响应一样，这会导致其他 bin 落在频率响应的非零部分上。

在此处输入图像描述

另一种看待它的方式是，FFT 只是一个滤波器组，其中每个滤波器阻带底都有很多波纹，并且在远离中心频率超过 1 个 bin 的衰减中肯定不是无限的。矩形以外的一些窗口（von Hann 等）具有较低的阻带，这是它们广泛使用的原因之一。

hotpaw2的回答很好，但我想详细说明一下user5133的评论：

感谢您没有通过说“FFT 假定其输入序列是周期性的”来解释泄漏。可悲的是，在 DSP 的文献中，“假定的周期性”这个愚蠢的概念被重复得太频繁了

同时也回答了这个问题。请注意，我是该领域的专家——请随时发表评论、更正或确认。

离散时间傅里叶变换 (DTFT) 定义为 $\mathbb{Z}$ （不仅仅是 $\{1,2,\dots, N\}$ ！）经过

X (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- i ω n} .

$X(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.$

在实践中，测量信号是有限的；表示长度 $N$ . 有限信号可以扩展为 $N$ - 周期性超过 $\mathbb{Z}$ . 离散傅里叶变换 (DFT) 定义为

X_{k} \overset{def}{=} \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{n} \cdot e^{- 2 π i k n / N}, k \in Z

$X_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cdot e^{-2\pi ikn/N},\quad k\in \mathbb {Z} \,$ 对应于离散频率

X (2 π k / N)

$X(2\pi k/N)$ DTFT 的，除非当

n

$n$ 在不在

{1, 2, \dots, N}

$\{1,2,\dots, N\}$ . 换句话说，它对应于 DTFT

x [n] w [n]

$x[n]w[n]$ 在哪里

w

$w$ 是一个矩形函数，当

n \in {1, \dots, N}

$n\in\{1,\dots,N\}$ 和 0 其他地方。

但是乘积的傅里叶变换是傅里叶变换的卷积：

F {f \cdot g} = F {f} * F {g}

$\mathcal{F}\{f \cdot g\}= \mathcal{F}\{f\}*\mathcal{F}\{g\}$

因此原始信号的 DFT 是其“周期性”版本的 DTFT 与矩形窗口的傅里叶变换的卷积......这是一个 $\text{sinc}$ 因为（在连续框架中并以 0 为中心以简化...）：

\int_{- \infty}^{\infty} w (f) e^{- j ω t} d t = \int_{- τ}^{τ} e^{- j ω t} d t = 2 τ sinc (ω τ)

$\int_{-\infty}^\infty w(f)e^{-j\omega t} dt = \int_{-\tau}^{\tau} e^{-j\omega t}dt =2\tau \text{sinc}(\omega \tau)$

卷积与 $\text{sinc}$ 产生观察到的旁瓣（某些特定情况除外）。

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