让我从头开始。计算倒谱的标准方法如下：

$$C(x(t))=\mathcal{F}^{-1}[\log(\mathcal{F}[x(t)])]$$

在 MFCC 系数的情况下，情况有点不同，但仍然相似。

在预加重和加窗之后，计算信号的 DFT 并应用重叠三角滤波器的滤波器组，以 mel 比例分隔（尽管在某些情况下线性比例优于 mel）：

关于倒谱定义，您现在以 mel 频率标度表示频谱的包络（缩减频谱）。如果你代表它，那么你会发现它有点类似于你的原始信号频谱。

下一步是计算上面得到的系数的对数。这是因为倒谱应该是一个同态变换，可以将信号与声道的脉冲响应等分开。如何？

原始语音信号$s(t)$主要与脉冲响应卷积$h(t)$声道的：

$$\hat s(t)=s(t)\star h(t)$$

在频域卷积是频谱的乘法：

$$\hat S(f) = S(f)\cdot H(f)$$

根据以下属性，可以将其分解为两部分：$\log(a\cdot b) = \log(a)+\log(b)$.

我们还期望脉冲响应不会随时间变化，因此可以通过减去均值来轻松消除它。现在你明白为什么我们取带能的对数了。

倒谱定义的最后一步是傅里叶逆变换$\mathcal{F}^{-1}$. 问题是我们只有对数能量，没有相位信息，所以在应用之后ifft我们得到复值系数——对于所有这些努力成为一个紧凑的表示来说并不是很优雅。虽然我们可以采用离散余弦变换，它是 FT 的“简化”版本并获得实值系数！这个过程可以可视化为将余弦曲线与我们的对数能量系数相匹配。您可能还记得倒谱也称为“频谱的频谱”吗？这就是最重要的一步——我们正在寻找对数能量包络系数中的任何周期性。

所以现在你看到了，现在很难理解原始光谱的样子。此外，我们通常只取前 12 个 MFCC，因为更高的 MFCC 描述了对数能量的快速变化，这通常会使识别率变差。所以做DCT的原因如下：

• 最初您必须执行 IFFT，但从 DCT 获得实值系数更容易。此外，我们不再有全频谱（所有频率箱），而是 mel 滤波器组内的能量系数，因此使用 IFFT 有点矫枉过正。

• 您在第一个图中看到滤波器组是重叠的，因此来自彼此相邻的滤波器组的能量正在两个之间传播 - DCT 允许对它们进行去相关。请记住，这是一个很好的属性，例如在高斯混合模型的情况下，您可以使用对角协方差矩阵（其他系数之间没有相关性），而不是完整的（所有系数都是相关的） - 这大大简化了事情。

• 另一种对 mel 频率系数进行去相关的方法是 PCA（主成分分析），该技术仅用于此目的。幸运的是，证明 DCT 在解相关信号时是 PCA 的一个非常好的近似值，因此使用离散余弦变换的另一个优势。

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一些文献：

Hyoung-Gook Kim、Nicolas Moreau、Thomas Sikora - MPEG-7 音频及其他：音频内容索引和检索

其背后的基本原理是由于滤波器的重叠而分离对数频谱幅度（与滤波器组）的相关性。本质上，DCT 平滑了由这些对数频谱幅度给出的频谱表示。

这是不正确的。对数频谱幅度之间存在相关性不仅是因为它们重叠，而且还因为没有任何数字序列代表对数频谱幅度的“有意义”（如在自然语音和声音中发生）系列。“有意义的”对数谱幅度往往相当平滑，在较高频率上能量整体减少等。有人会说所有“有意义的”对数谱幅度向量的空间维度小于 40 或无论您使用多少个频段；而 DCT 可以看作是降维，将 40 通道的数据映射到这个更小的空间上。

本质上，DCT 平滑了由这些对数频谱幅度给出的频谱表示。

DCT 不进行任何平滑处理。从 DCT 数据重建时，您会看到平滑 - 平滑是由于 DCT 丢失信息和随后的系数截断。

但 MFCC 系数不存储平滑频谱 - 它存储一系列不相关的 DCT 系数。

平滑 DCT 不仅减少了表示频谱所需的维数。DCT 有利于降维，因为它倾向于在前几个系数中压缩频谱的大部分能量。