Boyd 有一个 Matlab Solver for Large-Scale ℓ1-Regularized Least Squares Problems。那里的问题表述略有不同，但该方法可以应用于该问题。

经典的主要化-最小化方法也很有效。这对应于迭代地执行软阈值（对于电视，剪辑）。

可以从链接中看到解决方案。然而，有许多方法可以通过广泛使用优化文献来最小化这些函数。

PS：正如其他评论中提到的，FISTA 会很好用。另一个“非常快”的算法系列是原始对偶算法。例如，您可以查看Chambolle 的有趣论文，但是有大量关于线性逆问题公式的原始对偶方法的研究论文。

为了解决 TV 惩罚的优化问题，我们使用了一种最近提出的算法，称为基于快速梯度的约束总变分图像去噪和去模糊问题算法 (FISTA)，它比传统的迭代方法（如 ASD-POCS）具有更好的收敛速度。

的特殊情况下，目标函数可以写成$f(y)=\|y\|_1$

$$\|x-y\|^2 + b\|y\|_1 = \sum_i(x_i - y_i)^2 + b\sum_i |y_i|,$$

最小化它需要最小化总和的每个条目：

$$\hat{y_i} = argmin \{(x_i-y_i)^2 + b|y_i|\}$$

使用次微分可以证明最小化器是具有阈值的软阈值算子。这就是 Donoho 和 Johnstone 提出的信号去噪方法。有关更多详细信息，请参阅他们的论文“小波收缩的理想空间适应”。$b$

所以在这种情况下，我认为您不需要更复杂的求解器来估计您的信号。

补充：如果，这些术语都是独立的——正如@Alejandro 指出的那样，您可以自己最小化每个术语。更有趣 其中而不是 旨在将许多推为 0。 以下说明适用于这种情况。（我称变量为，而不是。）$f(x) = \ell_1(x) = \sum |x_i|$
$\qquad\qquad$ $\| Ax - b \|_2^2 + \lambda \|x\|_1$
$\|x\|_1$$\|x\|_2$$x_i$
$x$$y$

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（一年后）这种情况的另一个名称 norm 是 Elastic net regularization。 Hastie et al., Elements of Statistical Learning p。661 英尺。讨论这个进行分类。$f(x) = \ell_1$

的近似解的一种快速简单的方法是交替$x_i = 0$

1. 最小化通过普通最小二乘法$\|Ax - b\|$
2. 收缩又名软阈值：设置小。$x_i = 0$

这是一种迭代重新加权最小二乘的形式，权重为 0 或 1。我希望先前答案中引用的论文中的方法会产生更好的结果；这很简单。

（当最小化总和和绘制在 iter 1 2 3 的对数尺度上......否则，一个术语可能会淹没另一个，你甚至不会注意到—— 尤其是当它们的缩放比例不同时。）$f() + \lambda g()$$f()$$\lambda g()$