我将上面的一些评论转换为这个答案：

如果您尝试检测 AWGN 通道上是否存在某些脉冲形状 $p(t)$，则最佳检测器使用与脉冲形状 $p(t)$ 匹配的滤波器（恰当地命名为匹配滤波器） ; 这使滤波器输出的信噪比 (SNR) 最大化，从而提供最佳的检测统计。这种方法等效于脉冲形状与观察到的信号的滑动互相关，数学表示如下：

$$ d(t) = x(t) * p(t) $$

其中 $x(t)$ 是观察到的信号，$d(t)$ 是结果检测统计量。

因此，主要问题包括选择一个合适的阈值，该阈值可用于确定感兴趣的脉冲在 $x(t)$ 中出现的位置。具体来说，当 $d(t) > T$ 时表示检测，其中 $T$ 是用于平衡两个相反性能指标的阈值：检测概率$P_d$ 和误报概率$P_{fa}$ . 这是一个指向先前答案的链接，我在其中更多地讨论了权衡。这些指标的目标值将根据您的特定应用程序的要求进行选择。

对于这种情况，我们可以很容易地得出 $P_d$ 和 $P_{fa}$ 的通用表达式：

• 错误警报的概率： “错误警报”表示检测器报告存在目标脉冲 $p(t)$ 而实际上不存在的情况。由于我们将通道定义为 AWGN，这意味着对于误报，输入信号 $x(t)$ 是高斯白噪声 (WGN) 过程。不失一般性，我们将假设噪声为零均值，方差为 $\sigma^2$。

  为了确定$P_{fa}$，我们关心匹配滤波器输出端的信号是什么样的。回想一下，$d(t)$ 被定义为：

  $$ d(t) = x(t) * p(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) p(t-\tau) d\tau $$

  假设$x(t)$是方差$\sigma^2$的高斯白噪声过程，可以证明$d(t)$也将是高斯的，方差等于：

  $$ \sigma_d^2 = \sigma^2 \int_{-\infty}^{\infty} |p(t)|^2 dt $$

  也就是说，匹配滤波器输出的方差仅由脉冲波形 $p(t)$ 的总能量缩放。检测统计量 $d(t)$ 只是一个方差 $\sigma_d^2$ 的高斯过程。在任何给定时间 $t$ 的误报概率等于检测统计量超过阈值 $T$ 的概率。利用高斯分布的性质，我们可以写成：

  $$ \begin{align} P_{fa} &= P(d(t) > T\ | \text{ 没有信号}) \\ &= 1 - F_d(T) \\ &= Q\left(\ frac{T}{\sigma_d}\right) \end{align} $$

  其中 $F_d(d)$ 是高斯分布的累积分布函数 (CDF)，$Q(x)$ 是Q 函数。

• 检测概率：这种情况与误报情况的不同之处在于存在感兴趣的信号。具体来说，我们检查匹配滤波器与感兴趣的脉冲完全对齐的情况。存在我们之前分析的相同噪声分量，但所需脉冲形状的自相关使其具有非零平均值。该平均值等于脉冲波形的总能量：

  $$ \mathbb{E}\left(d(t)\right) = \int_{-\infty}^{\infty} |p(t)|^2 dt $$

  因此，检测概率是检测统计量超过阈值的概率：

  $$ \begin{align} P_{d} &= P(d(t) > T\ | \text{ 信号存在}) \\ &= 1 - F_d(T) \\ &= Q\left(\frac {T - m_d}{\sigma_d}\right) \end{align} $$

设计过程将如下所示：

• 为您的检测器选择一个操作范围，定义您将在其中操作的最小信噪比（或等效地，最大噪声方差 $\sigma^2$）。

• 假设最坏的情况（即最大噪音水平），选择一个阈值$T$，它满足您所需的$P_d$ 或$P_{fa}$（以您更重要的为准）。

• 将 $T$ 的结果值代入另一个等式以确定您的预测性能指标。

这是对这个问题的一个相当高级的处理，如果你开始着手构建一些实际可行的东西，你会遇到一些其他值得注意的细节：

• 与您的正弦检测问题相关的一件事是，相对于您的模板脉冲形状 $p(t)$，接收到的脉冲很可能处于某个未知的起始相位 $\phi$。然后，您将观察到基于相位偏移量的相关峰值的减少，这将对检测器的性能造成严重破坏。如果是这种情况，非相干检测器是更好的方法：

  $$ d_1(t) = x(t) * p(t) $$ $$ d_2(t) = x(t) * p_Q(t) $$ $$ d(t) = \sqrt{d_1^2( t) + d_2^2(t)} $$

  其中 $p_Q(t)$ 是模板正弦脉冲的 90 度偏移（或正交）版本。这个案例的统计数据略有不同，留给感兴趣的读者作为练习。

• 上述处理假设在 $x(t)$ 中以与模板 $p(t)$ 相同的功率水平接收到脉冲，这几乎可以肯定是不真实的。有两种方法可以处理这种复杂情况：要么使用某种自动增益控制 (AGC) 过程，以将接收到的功率电平控制在你所期望的水平，要么你可以使 $T$ 成为一个自适应阈值，以相对到观察到的信号（例如，您可以尝试估计背景噪声方差 $\sigma^2$，然后适当地设置 $T$）。

为了获得“最佳”过滤器，您需要经过几个步骤

1. 确定信号的频谱：窗口正弦脉冲的频谱基本上由与载波卷积的窗口函数给出。由于载波是正弦波，卷积只是移动了窗口频谱。然而，窗口的形状很重要：它是升余弦、汉宁、汉明、凯泽等。这决定了带宽有多宽以及是否有需要保持的强旁瓣。
2. 确定噪声的频谱：最简单的方法是查看信号中只有噪声的区域的频谱
3. 查看信号和噪声频谱。有用的频率是信号能量大于噪声的频率。“坏”频率是噪声较大的频率。
4. 创建一个过滤器规范，通过“有用的”频率并“拒绝”坏的频率。可以使用称为“维纳过滤器” http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_filter的方法优化拒绝量。在紧要关头，带通也可以。
5. 滤波器规格至少应具有中心频率、带宽和滚降陡度。更多的滤波器系数通常会使通带更平坦，滚降更陡峭。再次查看信噪比图通常会告诉您什么滚降是有意义的

FIR 滤波器长度将决定 FIR 滤波器的精度。FIR 滤波器是最佳滤波器响应的近似值（由您决定），不应与“脉冲”持续时间相关联。FIR 滤波器越长，您拥有的系数越多，滤波器幅度响应就越符合您的规范。还有两个问题需要考虑。您必须考虑相位响应，因为这会扭曲解调脉冲的形状。您可能已经这样做了，但我认为您可能希望您的 FIR 滤波器具有线性相位。此外，当您增加 FIR 滤波器的长度时，您将增加从输入到输出的延迟，因此您不想在滤波器长度方面只为月球射击。所以就最佳长度而言，