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用复数表示真实世界的音频信号是否有意义？

信息处理离散信号声音的复杂的

2022-01-15 23:09:07

在本课程（Coursera：音乐应用的音频信号处理）中，教授使用了一个获得复杂正弦曲线的 DFT 的示例：

\begin{aligned} x_{2} [n] & = e^{ȷ (2 π f_{0} n + φ)} for n = 0, \dots, N - 1 \\ X_{2} [k] & = \sum_{n = 0}^{N - 1} x_{2} [n] e^{- ȷ 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{ȷ (2 π f_{0} n + φ)} e^{- ȷ 2 π k n / N} \\ = e^{ȷ φ} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- ȷ 2 π (k / N - f_{0}) n} \\ = e^{ȷ φ} \frac{1 - e^{ȷ 2 π (k / N - f_{0}) N}}{1 - e^{ȷ 2 π (k / N - f_{0})}}, \end{aligned}

$\begin{align} x_2[n]&=e^{\jmath\left(2\pi f_0 n+\varphi\right)}\quad \textrm{for}\quad n=0, \ldots, N-1\\ X_2[k]&=\sum_{n=0}^{N-1}x_2[n]e^{-\jmath2\pi kn/N}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1} e^{\jmath\left(2\pi f_0 n+\varphi\right)}e^{-\jmath2\pi kn/N}\\ &=e^{\jmath\varphi}\sum_{n=0}^{N-1}e^{-\jmath 2\pi\left(k/N-f_0\right)n}\\ &=e^{\jmath \varphi}\frac{1-e^{\jmath 2\pi\left(k/N-f_0\right)N}}{1-e^{\jmath 2\pi\left(k/N-f_0\right)}}\,, \end{align}$

其中频率表示为并且它具有初始相位。 $f_0$

所以看起来真实世界的（离散的）音频信号在以数字方式表示时可能具有复杂的值，但这有意义吗？
如果是，那么我们该如何解释呢？
输入的值不应该代表气压的变化吗？
因此，如果对于输入信号，假设为，那么这将告诉我们当时隔膜上的压力是什么？ $x$ $x[0]$ $2 + 3 \jmath$

4个回答

所以看起来真实世界的（离散的）音频信号在以数字方式表示时可能具有复杂的值，

不，你误会了。离散音频时间信号没有非实数值。傅里叶变换可以有这样的。

但这有意义吗？

它不需要有意义。这只是数学。我有时会提醒自己——偶尔远离人类对事物赋予意义的渴望是有帮助的。

但是，假设任何信号都具有傅里叶变换，并且该变换是纯实数。现在你将该信号及时移动。通过了解傅里叶变换属性，或者仅应用积分（连续 FT）或总和（离散 FT），您会立即看到这意味着与相乘。在一般情况下，这会产生以前没有的非零虚部。 $S(f)$ $\Delta t$ $e^{j2\pi \Delta t f}$

换句话说：即使您有一个 FT 是纯实数的信号，只需将其时间移动一点，您总能得到频谱中的非零虚部。这适用于所有信号，无论是音频还是无线电接收器的 I/Q 基带。

如果是，那么我们该如何解释呢？

我认为你继续听这些讲座是有道理的，我不想剧透太多，但是：

只有时间对称（准确地说是时间厄米特，但由于音频信号是真实的，这与对称性相同）信号具有真实频谱。如果您看到非实频谱，您可以简单地判断该信号不是厄米（对称）信号。

此外，它还告诉您，如果要处理信号的频谱，则始终必须同时考虑幅度和相位来表示信号。这两个方面都不能单独在频谱的实部上定义！第一个是实部和虚部的平方和的根（所以虚部很重要），第二个是虚部和实部之比的反正切。顺便说一句，相位“包含”谐波信号的时移，在整个信号周期中测量，这是对音频非常重要的一类信号。

输入的值不应该代表气压的变化吗？

是的。但那是时域信号，不是频域信号。

因此，如果对于输入信号 x，假设 x[0] 为 2 + 3j，这将告诉我们关于该时间点隔膜上的压力？

您将实时时域信号与其傅里叶变换混淆了。一个单一的标量值，如瞬时气压，是真实的。没有；在时域中不可能。但是，在频域中，可能存在虚部。 $+3j$

确保您理解这一点：

信号只是随时间或其他轴而变化的值。因此，最直观的表示是沿该轴的表示，例如，音频信号可能是压力随时间的变化。

但是，还有其他表达相同信号的方式。信号的傅立叶变换描述了相同的信号，但与时间信号是不同的函数。我们常说“频域”（FT之后）和“时域”。

我不知道你的背景，但在我学习的早期，我们学习了向量空间、基和基变换。

“时间步长”只是描述信号的基础之一；“傅立叶系数”是另一个。关于这两个基，相同的信号具有不同的系数（即表示为数字的向量）。离散 FT 真的，真的，真的只是一个普通的、陈旧的、无聊的基础变换矩阵，具有一些不错的属性！

另一种看待它的方式是，复数值只是在某些物理行为期间表现出（足够接近）某种关系的两个实数值，这种关系是两个实数值以足够相似的方式一起变化，以至于它们可以当将这些实数输入值对视为单个复数值时，可以通过使用复数乘法和加法的公式进行建模。

这两个真实值可能是“瞬时”气压和速度，在某些情况下，可以将它们的配对行为建模为一个复数值，因此在教科书或黑板上需要更少的方程行。

您正在谈论信号的傅里叶变换。转换是与您开始时不同的域。您同样可以问用颜色编码的环表示阻力是否有意义。

感觉并没有发挥作用。问题是表示是否捕获了相关信息，以及域的变化是否具有抵消变化努力的优势。

是的，您需要复数。但坦率地说：尝试改用 Hartley 变换（将实函数转换为实函数），您会发现算法复杂性增加，而其描述能力下降，而描述能力是我们首先开始变换的原因. 在实值计算方面，Hartley 变换往往比傅里叶变换减少一些操作。但是与仅在复杂领域中工作相比，索引和描述变得更加棘手。所以他们从来没有变得过于时尚。

有时，为信号、函数添加维度，使它们和关联的结果更通用，更实用。想想多项式：如果你坚持实根，它们的数量可能会有很大差异。次多项式都具有恰好个根（包括多个根）。 $d$ $d$

以更普通的方式，我认为使用复数（在某些条件下）将对象（实数）连同它的影子（虚部）一起考虑。虽然阴影可以从太阳位置恢复，但将物体及其阴影合在一起会让你忘记太阳。以余弦信号为例。将其幅度视为最大值听起来很自然。但是您可以很容易地看到余弦的绝对幅度在和之间变化，尽管在道德上它“应该”是 1。添加余弦的（分析）阴影，即正弦（它们被称为希尔伯特对）。你得到，其幅度（模数）始终为 $1$ $0$ $1$ $e^{ix}$ $1$ ，简单多了。因此，从真实的音频输入，您可以使用物理属性构建有意义的复杂信号。例如，在地震中，波的极化很重要。变得复杂可能很有用。但出于实际原因，可以从左/右对构建复杂的音频信号。

所以：

这有意义吗？三重是，复合体可以揭示信号的真实性质
如果是，那么我们该如何解释呢？作为指导和帮助
输入的值不应该代表气压的变化吗？输入仍然是真实的，或者可能只是真实的部分，或者更多的东西。可能是压力加上它的假想阴影。傅里叶变换的输出可能很复杂，没什么大不了的
因此，如果对于输入信号，假设为，那么这将告诉我们关于那个时间点隔膜上的压力？您可能会在这里进入一片混乱的境地：您可能正在谈论。碰巧对于真实信号，总是真实的，它代表信号的平均值。但是其他一些可能很复杂。他们的相位可以告诉你关于你的信号的有趣细节，通常不是在特定的时间索引，在整个区间范围内 $x$ $x[0]$ $2+3\jmath$ $X[0]$ $X[0]$ $X[n]$

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