跟进我删除的答案...如果您采用实心椭圆并将所有点投影到$x$轴，更多的点将投射在原点附近而不是极端，呈圆形分布。不是高斯分布，也不是我在删除的答案中在一维类比中提到的均匀分布。结果分布实际上有pdf$p(x) = \sqrt{(1 - (\frac{x}{r})^2)}$，从那里你可以计算出标准差是$\frac{r}{2}$.

因此，如果数据均匀分布在半径椭圆的内部$a, b$（其轴是$x$和$y$轴），的标准偏差$x$坐标是$\frac{a}{2}$和的$y$坐标是$\frac{b}{2}$. 因此，您需要使用的校正因子只是 2。

这是python中的一个工作示例，从椭圆内部随机采样的点恢复椭圆的中心（平移矩阵）、旋转矩阵和半径：

import numpy

# Generate some points distributed uniformely along an ellipse
x = 2 * (numpy.random.rand(10000, 1) - 0.5)
y = 2 * (numpy.random.rand(10000, 1) - 0.5)
d = (x / 0.5) ** 2 + (y / 0.25) ** 2
inside = numpy.where(d < 1)[0]
x = x[inside]
y = y[inside]
data = numpy.hstack((x, y)).T

# Now rotate by 0.5 rad and translate it to (4, -8)
angle = 0.5
rotation = numpy.array([
    [numpy.cos(0.4), -numpy.sin(0.4)],
    [numpy.sin(0.4), numpy.cos(0.4)]])

data = numpy.dot(rotation, data)
data[0, :] += 4
data[1, :] -= 8

# Step 1: center the data to get the translation vector.
print 'Translation', data.mean(axis=1)
data -= numpy.reshape(data.mean(axis=1), (2, 1))

# Step 2: perform PCA to find rotation matrix.
scatter = numpy.dot(data, data.T)
eigenvalues, transform = numpy.linalg.eig(scatter)
print 'Rotation matrix', transform

# Step 3: Rotate back the data and compute radii.
# You can also get the radii from smaller to bigger
# with 2 / numpy.sqrt(eigenvalues)
rotated = numpy.dot(numpy.linalg.inv(transform), data)
print 'Radii', 2 * rotated.std(axis=1)

检查Fitzgibbon 等人的椭圆的直接最小二乘拟合。这是一个简单的特征值问题，其大小与样本中的像素数不成正比！唯一取决于你扔给它的像素数量的步骤是计算散布矩阵，它仍然是$O(n)$.