信息处理 - 带限白噪声的采样 - 吾爱随笔录

带限白噪声的采样

信息处理噪音采样混叠

2022-01-06 03:16:23

上下文是通信，我们有一个对信号和噪声进行采样的前端（但这里我们只关注噪声）。我的目标是确定我应该用来模拟（在 Matlab 中）ADC 之后的离散噪声的噪声功率。
这篇文章与这个有关，我会参考它。以下是说明讨论的数字。

让我们考虑一个 PSD的（虚拟）连续白噪声（见图 1）。它通过带宽为。因此，我们获得了功率为的带限白噪声（见图 2， = 10 kHz）。在这里，我们就在前端的 ADC 之前。之后，对信号进行采样，这就是我的看法： $N_0/2$ $[-B; B]$ $N_0 B$ $B$

如果以高于两倍带宽（例如 30 kHz）的频率对信号进行采样，则输出不再是白噪声，因为 PSD 不是恒定的（见图 3，红色是，所以实际光谱是灰色曲线加上红色曲线）。 Dilip Sarwate 在这篇文章中使用输出噪声的自相关函数非常清楚地说明了这一点。 $±f_s$

如果以等于带宽两倍的频率（即 20 kHz）对信号进行采样，则输出是白噪声，因为 PSD 是恒定的并且等于（参见图 4）。然而，这与 Dilip Sarwate 在这篇文章中的发展不一致，在 20 kHz 的情况下，我们不再处于 sinc 的零位，因此输出样本是相关的...... $N_0/2$

如果信号以低于带宽的频率（例如 10 kHz）进行采样，则输出也是白噪声，因为 PSD 是恒定的；但是存在增加噪声量的混叠，并且 PSD 现在为（图 5）。使用较低的采样频率，增加会更高。 $N_0$

因此，对我来说，如果我想在 Matlab 中模拟 ADC 之后的离散噪声，我应该考虑假设噪声为 AWGN，噪声功率应该是，无论实际前端带宽是多少。 $f_s = 2 B$ $\sigma^2 = N_0 B = N_0 f_s / 2$

你能告诉我关于图 4 的情况，我的推理在哪里是错误的吗？

1个回答

这里有两件事要考虑：采样后的噪声功率，以及采样噪声是否不相关的事实。请注意，采样噪声的自相关函数等于连续时间噪声的采样自相关函数。对于具有带宽和单边噪声密度的广义固定 (WSS) 带限白噪声信号，自相关函数由下式给出 $X(t)$ $B$ $N_0$

\begin{matrix} (1) & R_{X} (τ) = B N_{0} sinc (2 B τ) \end{matrix}

$R_X(\tau)=BN_0\,\text{sinc}(2B\tau)\tag{1}$

我在哪里使用。 $\text{sinc}(x)=\sin(\pi x)/(\pi x)$

如果定义离散时间过程，其中是采样频率，则其自相关函数由下式给出 $Y[n]=X(nT)$ $f_s=1/T$

\begin{matrix} (2) & R_{Y} [k] = R_{X} (k T) = B N_{0} sinc (2 B k T) \end{matrix}

$R_Y[k]=R_X(kT)=BN_0\,\text{sinc}(2BkT)\tag{2}$

由于离散时间噪声的功率由，显然采样频率对噪声功率没有影响。因此，无论您以多快的速度对原始连续时间噪声进行采样，所产生的离散时间噪声的功率始终等于采样前噪声的功率。 $Y[n]$ $R_Y[0]=BN_0$

现在让我们看看噪声样本之间的相关性。自相关函数在 $R_X(\tau)$

τ_{i} = \frac{i}{2 B}, i = 1, 2, \dots

$\tau_i=\frac{i}{2B},\quad i=1,2,\ldots$

对于给出（这是您在问题中提到的 Dilip Sarwate 帖子中的小数字错误）。这意味着，如果您选择的采样间隔是 50μs 的整数倍则生成的采样噪声将是不相关的。这对应于采样频率 ,，即 , ,等。 $B=10\,\text{kHz}$ $\tau_i=i\cdot 50\mu s$ $50\mu s$ $f_s=2B/i$ $i=1,2,\ldots$ $20\,\text{kHz}$ $10\,\text{kHz}$ $6.67\,\text{kHz}$

因此，采样频率为时，您确实会得到不相关的噪声样本。 $20\,\text{kHz}$

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