我一直在阅读第 13.4 章。（“使用 FFT 进行功率谱估计”）的Numerical Recipies Book。

不过，与“功率谱的周期图估计”的期望值相关的一些事情对我来说并不清楚。

背景

假设我们有离散信号点样本 及其傅里叶变换C_k = \sum_{j=0}^{N−1} = c_j \exp{ 2πijk/N} k = 0, . . . , N − 1 然后我们可以将“功率谱的周期图估计” P(f_k)定义为 P(f_k) = \frac{1}{N^2} [{|C_k|^2 + |C_{N− k}|^2]} $N$$c_0 ... c_{N-1}$$c(t)$

$$C_k = \sum_{j=0}^{N−1} = c_j \exp{ 2πijk/N}$$ $$k = 0, . . . , N − 1$$ $P(f_k)$ $$P(f_k) = \frac{1}{N^2} [{|C_k|^2 + |C_{N−k}|^2]}$$

k = 1, 2, . . . , \frac{N}{2}− 1$k = 1, 2, . . . , \frac{N}{2}− 1$和$f_k = \frac{k}{N\Delta}$对于$k = 0, 1, . . . ,\frac{N}{2}$（$\Delta$是采样间隔）。

到目前为止，一切都清楚了。

现在书上说

“......频率f_k处周期图估计的方差$f_k$始终等于其在该频率处的期望值的平方。换句话说，标准偏差始终是该值的 100%，与 N 无关！”

我的问题

1. 频率f_k处周期图估计的期望值是多少$f_k$？为什么（你能告诉我如何推导它）？
2. 期望值不随$N$改变，因此改变输入的长度不会改善功率谱估计。但是，如果我的样本中有非整数周期数，则更多样本（更长的采样时间）意味着信号末端的权重更小（存在断开），因此由于之间的断开而测量的频率分量的拖尾更少信号的开始和结束。那么在这种情况下，更高的$N$意味着更好的估计？我哪里错了？
3. 如果 SD 始终是期望值的 100%，这是否会使这个简单的周期图估计（仅使用$N$个样本的单个 DFT）变得毫无用处？应该总是选择韦尔奇或巴特利特的方法吗？

非常感谢您！