如果你能那样做，就可以直接实现卡尔曼滤波器。举个例子 - 考虑笛卡尔坐标中的恒定速度模型，但您唯一测量的是位置（不是速度），并且您正在测量笛卡尔坐标系中的位置。然后你的$\mathbf{H}$矩阵只会像您描述的那样挑选位置值。

现在考虑一个声纳或雷达系统——它测量距离和方位而不是 x、y、z。现在测量在极坐标/球坐标系中进行，但更容易将目标的模型保持为在笛卡尔坐标系中具有恒定速度。现在您的状态传播矩阵与前一种情况相同，但现在您的$\mathbf{H}$矩阵需要将您的笛卡尔状态坐标转换为极坐标/球坐标以进行测量。例如，$R =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$. 所以现在你的$\mathbf{H}$矩阵不是简单地提取状态变量之一。事实上你的$\mathbf{H}$甚至不是一个常数值——它随着状态向量的值而变化。因此测量矩阵中的变换$\mathbf{H}$是非线性的，所以卡尔曼滤波器甚至不再是最优的。在这种情况下，您现在进入扩展卡尔曼滤波器以尝试处理转换中的非线性。

这是为了给你一个具体的例子。另外，请注意，还有其他方法可以处理笛卡尔到球面的转换问题。

正是这种形式$\mathbf{H}$矩阵需要取决于您的信号模型。

位置模型的好处是我们在加速度、速度和位置之间有非常清晰的关系——我们用来测量这些量的仪器直接测量它们。

这意味着我们可以根据这些量写下状态更新方程和测量方程——这些量是系统状态的良好选择（有时没有加速度）。

在这种情况下，当我们应用卡尔曼滤波器的系统状态是可直接测量的（通过一些噪声传感器）时，$\mathbf{H}$矩阵只有 1 和 0。

有时情况并非如此。例如，可以使用不同的状态选择来定义等效的状态空间系统。该系统仍然模拟我们的位置问题，但状态不直接映射到位置和速度。

观察矩阵H实际上是一个变换矩阵。它将状态空间转换为测量空间。

例如，系统状态可以是“s”，是两个传感器输出“a”和“b”之和。

s = a + b

现在在更新阶段的状态变量更新期间，卡尔曼增益将应用于测量（也称为观察）数据和预测状态之间的差异。

在我们设计的示例中，预测状态是一个标量，而测量数据是一个向量 [一个包含两个传感器输出的向量]。观察矩阵将预测状态转换为向量，以便可以获取差异并应用卡尔曼增益。

假设我们正在使用雷达/激光雷达跟踪车辆。雷达/激光雷达放置在观察车辆的位置。车辆的状态是

$$\mathbf{x}=\begin{bmatrix} x \\ v \end{bmatrix},P=\begin{bmatrix} cov(x,x) && cov(x,v) \\ cov(v,x) && cov(v,v) \end{bmatrix}$$

从雷达/激光雷达，我们可以读取回波信号的时间，不是距离，而是时间。为了连接状态向量和测量，我们需要测量矩阵$H$. 在这种情况下，

$$H=\begin{bmatrix} 1/c && 0 \end{bmatrix}$$

在哪里$c$是光速。

因此，测量是关于时间的，然后我们将估计的状态投影到测量单元。

这是一个例子，$\mathbf{x}_{k\vert k-1}$是基于时间 k-1 的状态在时间 k 的预测状态。我们将预测状态投影到具有观测模型的测量单元系统中$H_k$，以便在下一步中合并分布。

$$\begin{eqnarray} \mathbf{z}_{k}&=&H_k \mathbf{x}_{k\vert k-1}=\begin{bmatrix} 1/c && 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{k\vert k-1} \\ v_{k\vert k-1} \end{bmatrix}=x_{k\vert k-1}/c \\ \text{var}(H_k\mathbf{x}_{k\vert k-1})&=&H_kP_{k\vert k-1}H_k^T=\text{var}(x_{k\vert k-1})/c^2 \end{eqnarray}$$