您可以获得 DFT 幅度的界限$x[n]$($|x[n]|\le 1$） 如下：

$$\big|X[k]\big|=\left|\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jkn2\pi/N}\right|\le\sum_{n=0}^{N-1}|x[n]|\le N\max_n|x[n]|=N\tag{1}$$

请注意，对于信号$x[n]=e^{j2\pi nl/N}$，$l\in\mathbb{Z}$，界限很紧。然而，对于大多数其他具有$|x[n]|\le 1$的信号，您会发现$|X[k]|$大大小于$(1)$给出的界限。

上限将是的所有样本的相干总和。$x \left [ x \right ]$

具体来说：

$$\begin{aligned} X \left[ k \right ] & = \sum_{n = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] \exp^{-j 2 \pi \frac{nk}{N}} \\ & \leq \left| \sum_{n = 0}^{N - 1} x \left[ n \right] \exp^{-j 2 \pi \frac{nk}{N}} \right| \\ & \leq \sum_{n = 0}^{N - 1} \left| x \left[ n \right] \exp^{-j 2 \pi \frac{nk}{N}} \right| \\ & \leq \sum_{n = 0}^{N - 1} \left| x \left[ n \right] \right| \\ & \leq N \max_{n} \left \{ \left| x \left[ n \right] \right| \right \} \end{aligned}$$

如果您添加信息你可以说你受到的限制。$\forall n \left| x \left[ n \right] \right| \leq 1$$N$

我希望这有帮助...

FFT 的所有计算系数都将低于信号的最大幅度。当然，我的意思是归一化 FFT，您必须将它们中的每一个除以序列的长度（在矩形窗口的情况下）。您应该考虑的两种情况是：

• 和之间变化的正弦曲线在其频率处产生明显的频谱峰值，幅度为。这就是我们所期望的$-1$$1$$1$

• 你有两个（或更多）正弦曲线，它们中的每一个也有单位幅度。它们的叠加可能会产生幅度高于的信号（您的信号 ） 。您可以在下面的图中观察到这一点。虽然当你做 FFT 时，你会得到两个独立的振幅为的峰值。这意味着您无法获得频谱峰值高于时域幅度的信号。$x[n]$$1$$1$

• 在某些情况下，您还会遇到泄漏问题，并且峰值的幅度会比应有的低一点。但这也确保您在时域中不会获得超过最大绝对值。