问题的表述

我在以下假设下解决问题：

• 模糊算子是线性和空间不变的（因此通过卷积应用）。
• 模糊算子是已知的。
• 有测量噪音。

所以模型是：

$$\boldsymbol{y} = H \boldsymbol{x} + \boldsymbol{n}$$

其中$H$是模糊核的矩阵形式，$\boldsymbol{n}$是AWGN噪声，$\boldsymbol{x}$是要估计的参考图像。
在模型中，我们假设$D \boldsymbol{x} \sim \text{Exponential} \left( \lambda \right)$（参见指数分布）。

因此优化问题（MAP Estimator的等价物）由下式给出：

$$\arg \min_{\boldsymbol{x}} \frac{1}{2} {\left\| H \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \right\|}_{2}^{2} + \lambda \operatorname{TV} \left( \boldsymbol{x} \right) = \arg \min_{x} \frac{1}{2} {\left\| H \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \right\|}_{2}^{2} + \lambda {\left\| D \boldsymbol{x} \right\|}_{1}$$

请注意，此模型仅在添加噪声时才有意义，否则 TV 项只会使输出平滑。因此，TV 的正则化允许在反转模糊算子和平滑噪声之间进行控制。

ADMM 的解决方案

ADMM 问题将被表述为：

$$\begin{aligned} \arg \min_{\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}} \quad & \frac{1}{2} {\left\| H \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y} \right\|}_{2}^{2} + \lambda {\left\| \boldsymbol{z} \right\|}_{1} \\ \text{subject to} \quad & D \boldsymbol{x} = \boldsymbol{z} \end{aligned}$$

ADMM 将有 3 个步骤：

1. vX = mC \ (vY + (paramRho * mD.' * (vZ - vU)));.
2. vZ = ProxL1(mD * vX + vU, paramLambda / paramRho);.
3. vU = vU + mD * vX - vZ;.

在哪里mC = decomposition(mH.' * mH + paramRho * (mD.' * mD), 'chol');（这与How to Solve Image Denoising with Total Variation Prior Using ADMM的区别？）。
该参数paramRho是ADMM求解器的参数。

我在 MATLAB 函数中编写了这个解决方案 - SolveLsTvAdmm().
我将它与 CVX 的参考文献进行了比较：

在上面的噪声水平是3 / 255（图像被缩放到范围[0, 1]），模糊算子是半径为 的 Box Blur 2。
我没有优化paramLambda到它的最佳值。所以可以得到更好的结果。请注意，对于这种低水平paramLambda和小尺寸的图像，ADMM 求解器比 CVX 的直接求解器要慢。

完整代码可在我的StackExchange Signal Processing Q75471 GitHub 存储库中找到（查看SignalProcessing\Q75471文件夹）。