但是频域中的检测器是什么？

事情真的很复杂。我们接受了几乎完全在频域中考虑信号处理的训练，我们忘记了频域的东西只是作为一种数学技巧而发明的，以便更容易理解时域中发生的事情。 如果在时域中更容易做到，那就在那里做。

事实上，从频域的角度来看，包络检测真的很可怕，因为不仅有非线性在起作用，而且还有非线性和完美的线性电容器相互作用。所以一般来说，如果你想分析 AM 无线电解调，你会尝试找到一些线性的等效操作，或者至少不那么可怕的非线性。

在这种情况下，仅将解调视为削波就不错了。如图所示，裁剪操作可以表示为$y(t) = f\left( x(t) \right )$，其中$f(x)$（谢天谢地）是无记忆的。所以你可以断言*它有一个泰勒展开式$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty h_n x^n$$其中$h_n$是展开式**

如果我们通过$f(x)$输入一组正弦曲线，上面的扩展告诉我们，我们将得到几乎所有可能的失真产物。我们将在所有正弦频率的总和、和频率和差频率的每个可能组合以及两个正弦波的每个可能谐波的和和差的任何可能组合上得到东西。

在这一点上，我只是在没有证据的情况下声称，如果载波和调制信号相距很远，载波和边带频率之间的差异将是普遍存在的。AM 收音机之所以有效，是因为您以 500kHz 或更高的频率进行传输，并使用仅占用 0Hz 到 3000Hz 左右的信号调制载波。

我不打算更详细地证明这一点，因为频域中的数学变得疯狂——而且你可以很清楚地理解时域中的操作。

为什么音频编辑器中的示例不起作用？

首先，因为您只是将$\cos \omega_c t$与$\cos \omega_s t$相乘 对于 AM 调制，您需要类似$\left(\cos \omega_c t\right ) \frac{s(t) + 1 }{2}$ - 将载波乘以永远不会低于零的值。

其次，因为您的载波和调制音之间的距离非常近（尽管信号可能是可识别的）。

这是一些情节。

1. 顶部，您定义的信号的一个 1kHz 周期的图片。因为你没有改变你的调制音，你没有足够的载体来形成一个包络。

2. 我的版本带有你的频率，你的调制音调移动了 1 并减少了一半。

3. 我的版本的载波频率为 20kHz，调制音调发生偏移。

* 你可以断言这一点，但你在撒谎，因为它有无穷大的导数——但你可以任意地组成一些接近于具有泰勒展开式的剪裁函数的东西——假设我已经做到了.

** 我使用$h$来纪念我对数学所做的可怕事情......

在阅读 Tim 提供的详细信息之前添加一个简单的解释：

这很简单：如果二极管只通过信号的正半部分并阻挡负信号，我们最终会得到一个直流偏移，这是这个整流波形的平均值，注意骑在直流偏移上的是感兴趣的原始信号！通过检查很明显，低通滤波将提供解调信号，而我们在检测器之前的低通滤波将一无所获。

这仅适用于“大载波 AM”，这意味着我们需要使用波形传输实际载波以完成打开和关闭二极管的工作（创建清晰的偏移，我们的信号在上部正极保持完整时域波形的一半）。对于小载波 AM 和抑制载波 AM，我们不能像这样直接使用这种检测器方法，而是需要在本地重新创建载波（使用载波恢复方法）。传送载体是巨大的电力浪费！因此，我们在大多数现代波形中都使用后者。

我感谢大家的帮助。

我研究了非线性变换对谐波和双谐波信号的影响。我不确定我是否使用了正确的术语，因为我是从其他语言的书中得到的。所以你可以在评论中修复我，我会在这里修复它们。

所以。

任何非线性变换都可以用多项式来近似，因此我们可以将我们的信号放到这个上并检查输出谐波。例如，如果我们使用 3 的多项式，我们可以计算谐波：

$$ i = a_0 + a_1(u - U_0) + a_2(u - U_0)^2 + a_3(u - U_0)^3 $$

其中$U_0$ - 偏移电压和$u$ - 输入信号。

让我们首先检查这种非线性变换如何影响谐波信号。使用输入信号$u(t) = U_0 + U_mcos(\omega t)$我们得到：

$$ i(t) = a_0 + a_1U_mcos(\omega t) + a_2U_m^2cos^2(\omega t) + a_3U_m^3cos^3(\omega t) = a_0 + a_1U_mcos(\omega t) + a_2U_m^2 (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(2\omega t)) + a_3U_m^3(\frac{3}{4}cos(\omega t) + \frac{1 }{4}cos(3\omega t)) = (a_0 + \frac{1}{2}a_2U_m^2)+(a_1U_m+\frac{3}{4}a_3U_m^3)cos(\omega t)+ \frac{1}{2}a_2U_m^2cos(2\omega t) + \frac{1}{4}a_3U_m^3cos(3\omega t)=I_0 + I_{m1}cos(\omega t)+ I_ {m2}cos(2\omega t)+ I_{m3}cos(3\omega t) $$

，其中$I_0$ - 直流偏移，$I_{m1} - I_{m3}$ - 谐波。

正如我们所看到的，输出信号中有 3 个谐波。通过向多项式添加度数，我们得到额外的谐波，其幅度将无限减小。例如，让我们使用以下系数获得 -1 到 1 的二极管近似值：

$$ \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x $$

$\hskip2in$

代入公式中的系数并使用$U_m = 1$我们得到： $I_0 = 0.25$ , $I_1 = \frac{5}{12} \approx 0.416$ , $I_2 = 0.25$ , $I_3 = \frac{ 1}{12} \约 0.083$。

好的，让我们使用裁剪和 FFT 对结果进行实验测试：

$\hskip1in$

嗯，很好。如果我们添加最高度数，我们可以更准确地近似它。我们可以在这里使用的另一种近似是分段线性的。这允许基于截止角计算截止谐波信号的谐波。谐波幅度与截止角的动画图：

这个函数称为伯格函数。截止角越小（脉冲变窄），谐波衰减越小。

这是针对谐波信号的。如果我们使用双谐波信号（或多谐波信号），我们可以看到另一种行为。由具有不同频率$\omega_1$、$\omega_2$和幅度$U_{m1}$、$U_{m2}$的两个谐波振荡之和组成的信号称为双谐波：

$$U_0 + U_{m1}cos(\omega_1t)+ U_{m2}cos(\omega_2t)$$

将该信号代入一个近似多项式，我们可以计算该信号的谐波。为了简化计算，我们使用 2 次多项式：

$$ i = a_0 + a_1(u - U_0) + a_2(u - U_0)^2 \右箭头 $$ $$ i(t) = a_0 + a_1U_{m1}cos(\omega_1t) + a_2U_{m2}cos( \omega_2t) + a_2U_{m1}^2cos^2(\omega_1t) + 2a_2U_{m1}U_{m2}cos(\omega_1t)cos(\omega_2t)+ a_2U_{m2}^2cos^2(\omega_2t) $$

使用以下三角函数：

$$cos^2(\psi)=\frac{1}{2}(1 + cos(2\psi))$$ $$cos(\psi_1)cos(\psi_2)=\frac{1}{2 }(cos(\psi_1 + \psi_2)+cos(\psi_1 - \psi_2)) \Rightarrow$$ $$(a_0 + \frac{a_2}{2}(U_{m1}^2 + U_{m2}^ 2)) + a_1U_{m1}cos(\omega_1t) + a_1U_{m2}cos(\omega_2t)+\frac{a_2U_{m1}^2}{2}cos(2\omega_1t)+\frac{a_2U_{m2 }^2}{2}cos(2\omega_2t) + a_2U_{m1}U_{m2}cos((\omega_1+\omega_2)t)+a_2U_{m1}U_{m2}cos((\omega_1-\omega_2) t)$$

正如我们所看到的，当我们处理频率为 $\omega_1\pm\omega_2$的谐波信号时，不存在新的谐波。这些频率称为组合频率。让我们通过实验使用 FFT 检查频谱。$U_{m1} = 0.5; U_{m2} = 0.5$使用以下多项式：

$$ \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} x \Rightarrow$$

$$I_0 = 0.125; I_{\omega_1} = 0.25; I_{\omega_2} = 0.25; I_{2\omega_1} = 0.0625; I_{2\omega_2} = 0.0625；I_{\omega_1+\omega_2} = 0.125；I_{\omega_1-\omega_2} = 0.125$$

$\hskip1in$

使用具有较高次数$N$的多项式，结果包含组合频率$p\omega_1 \pm q\omega_2$，其中$p + q = N$；$p, q\in \mathbb{N}$。

例如，3 次多项式包含以下频率：

┌─────┬─────┬────────┬────────┬─────┐
│ q\p │  0  │   1    │   2    │  3  │
├─────┼─────┼────────┼────────┼─────┤
│   0 │ I0  │ ω1     │ 2ω1    │ 3ω1 │
│   1 │ ω2  │ ω1±ω2  │ 2ω1±ω2 │ -   │
│   2 │ 2ω2 │ ω1±2ω2 │ -      │ -   │
│   3 │ 3ω2 │ -      │ -      │ -   │
└─────┴─────┴────────┴────────┴─────┘

频谱和波形更准确：

$\hskip1in$

当我们有一堆输入谐波时，我们可以将它们表示为：

$$u(t) = U_0 + \sum_{k = 1}^{\infty}U_{mk}cos(\omega_kt -\varphi_k)$$

根据近似多项式的次数$N$，我们有以下组合频率：

$$p\omega_1\pm q\omega_2\pm s\omega_3\pm ... \pm k\omega_k\pm ...$$ $$p + q + s + ... + k + .. = N $$ $$p, q, s, k \in \mathbb{N}$$

例如，如果我们将 2 次多项式与双谐波输入一起使用，则结果频谱包含 DC、每个输入频率的两个一次谐波和组合频率$\omega_1 \pm \omega_2, \omega_1 \pm \omega_3, \omega_2 \下午 \omega_3$。使用三次谐波的多项式出现$3\omega_1, 3\omega_2, 3\omega_3$与组合频率$\omega_1 \pm \omega_2 \pm \omega_3; 2\omega_1 \pm \omega_3; \omega_1 \pm 2\omega_3$等。

所以我的问题的答案是：

在时域中切割信号会在频域中添加具有组合频率的高次谐波。特别地，组合频率允许解调晶体检测器中的信号，即向下（和向上）移动它们。

再次感谢大家！