如果定义 DFT 的表达式针对所有整数 $k$而不是仅针对$k = 0, \dots, N-1$进行评估，则生成的无限序列是 DFT 的周期性扩展，周期为$N$。

周期性可以直接从定义中显示：

$$X_{k+N} \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} (k+N) n} = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} k n} \underbrace{e^{-2 \pi i n}}_{1} = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-\frac{2\pi i}{N} k n} = X_k.$$

类似地，可以证明 IDFT 公式导致周期性扩展。

资料来源：维基百科。

虽然 DFT 的周期性属性并没有被广泛使用，但它经常会导致混叠问题。

来源：http ://www.dspguide.com/ch10/3.htm

在时域中，根据定义，DFT 是周期性的。虽然 DFT 代表离散傅立叶变换，但该运算实际上是离散傅立叶级数。假设要分析的信号在信号长度上是周期性的。这个周期信号被分解成一系列周期序列。DFT 频率区间位于 f = 1/T 及其整数倍处，其中 T 是要分析的信号的持续时间。

在频域中，DFT 是周期性的，因为要对被分析的时域信号进行采样。回想一下，对于高于 fs/2 的频率，任何周期性序列都不能唯一地表示，其中 fs 是序列的采样频率（也称为奈奎斯特频率）。高于 fs/2 的所有信号能量都被反射回 0-fs/2 频率范围内。在 fs/2 和 fs 之间，反射顺序相反，从而产生等于 fs 的 DFT 周期。