复数与向量相似，但有一些额外的数学特性使其有用。最值得注意的是，使用复指数\$e^{j\omega t}\$代替正弦和余弦使得微分方程更容易处理。这就是您首先获得复阻抗的方式：

$$v(t) = A\mathrm e^{\mathrm{j} \omega t + \theta}$$ $$i(t) = B \mathrm e^{\mathrm j \omega t + \phi} $$ $$\frac {v(t)} {i(t)} = Z = \frac AB \mathrm e ^ {\mathrm j (\theta - \phi)}$$

或者，用相量表示法：

$$\hat V = A\angle \theta$$ $$\hat I = B\angle \phi$$ $$\frac {\hat V} {\hat I} = Z = \frac AB \angle (\ θ - \phi)$$

您可以对幅度和相位使用矢量符号之类的东西，但是矢量不像复数那样进行乘除，因此它不会改善任何东西。

编辑：为解决某些代数问题而开发的复数。如果您想了解更多有关历史的信息，请查看 Tristan Needham 的 Visual Complex Analysis 的第一章。（如果您手头没有一个好的库，您可以在亚马逊上阅读预览。）

这本书的第二章可能会自己回答你的问题，但我也会试一试。从某种意义上说，复数是二维量，但在这里有用的是它们还包括旋转的概念。乘以\$\sqrt{-1}\$相当于在 2D 平面中旋转 90°：

$$\mathrm i ^ 0 = 1$$ $$\mathrm i ^ 1 = \mathrm i$$ $$\mathrm i ^ 2 = -1$$ $$\mathrm i ^ 3 = -\mathrm i$$ $$\mathrm i ^ 4 = 1$$

我们可以用复指数对此进行扩展，让我们表示任意数量的旋转：

$$\mathrm e^{j\pi/4} \cdot\mathrm e^{j\pi/4} = \mathrm e^{j(\pi/4 + \pi/4)} = \mathrm e ^ {j\pi/2} = \mathrm i$$ $$45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$$

请注意，我们通过普通算术得到这个——乘以实值指数的工作方式相同。

为什么这很重要？我们已经可以用正弦和余弦来表示旋转，对吧？但这在微分方程中变得很糟糕，主要是因为你不能通过相加来组合正弦和余弦。另一方面，\$\mathrm e^x\$的导数是...本身。那里没有问题！

那么阻抗从何而来？好吧，想想直流和正弦稳态之间的区别。在 DC 下，节点电压是具有不同幅度的恒定值。在 AC 下，节点电压是具有相同频率但幅度和相位角不同的正弦曲线。电压/电流关系也会发生变化。使用电阻器，电压和电流是同相的。在电感器或电容器中，它们之间存在 90° 的相位差。

所以现在旋转的概念（相位“角度”）已经渗透到我们的电路分析中。我们可以留在时域中，做这样的事情：

$$v = L \frac {\mathrm di} {\mathrm dt}$$ $$V\cos(\omega t) = \omega L\cdot I\cos(\omega t - 90^\circ)$$

或者我们使用复数，其中\$90^\circ\$旋转只是意味着乘以 i（好吧，在我们的例子中是\$j\$ - 这是 EE）：

$$V\mathrm e^{\mathrm j \omega t} = \mathrm j\omega L \cdot I \mathrm e^{\mathrm j \omega t}$$

这里的主要好处是所有\$\mathrm e^{\mathrm j \omega t}\$项都在方程中抵消，所以现在我们的电压/电流关系只是带有复数的欧姆定律：

$$\hat V = \mathrm j \omega L \hat I$$

如果我必须用一句话总结所有这些，我会说复数可以通过将幅度和相位与频率分开组合在一起来表示旋转，而正弦曲线将频率和相位组合在一起。

为什么使用复数而不是向量？

只是因为向量代数中没有定义向量除法，所以根本不能以除法形式使用欧姆定律，从而使计算更加复杂。另一方面，复数 athematic 的领域随着时间的推移比向量领域取得了更大的进步，因此您可以使用许多定理来简单地表达和（轻松地）进行分析。因此，即使您可以使用向量代数，使用复数更容易。

阅读更多：https ://math.stackexchange.com/questions/246594/what-is-vector-division

为什么阻抗表示为复数？

考虑以下电路：

如果 Q 是电容器上的电荷，i 是电流，那么使用 KVL 我们将有

$$R\times i + \frac QC + L\times \frac{di}{dt} = V \dots(1)$$ $$ \implies \frac{d^2i}{dt^2} + \frac RL\times \frac{dQ}{dt} + \frac 1{LC}\times i = 0\dots (2)$$ $$\implies i = Ae^{a_1t}+Be^{a^2t}$ $ where $$a_1, a_2 \in C$$ 和二阶微分方程的一般解本质上总是复杂的。

因此，您i的表达式是复杂的，并且将此值放入 eq 1 将给出V这也将是一个复杂的表达式。在除以V时i，您将得到另一个复杂的表达式，我们称之为该电路的阻抗。所以你看，阻抗之所以复杂是因为涉及的数学。

现在，如果您想“感受”复阻抗，您应该了解相量并与之进行类比。

阅读更多：https ://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-007-electromagnetic-energy-from-motors-to-lasers-spring-2011/lecture-notes/MIT6_007S11_lec19 .pdf

只是要说明一下，您可以将阻抗表示为矩阵：

$$ R + \mathrm j X \leftrightarrow \begin{bmatrix} R & X \\ -X & R \end{bmatrix} $$

这实际上是复数的矩阵表示。另一方面，您可以使用向量表示正弦信号（但不是阻抗）：

$$ x_{\cos} + \mathrm j x_{\sin} \leftrightarrow \begin{bmatrix} x_{\cos} \\ x_{\sin} \end{bmatrix} $$

阻抗和正弦曲线的加法/减法/缩放显然只是对矩阵和向量的同名运算。导纳是阻抗的矩阵倒数：

$$ (R + \mathrm j X)^{-1} \leftrightarrow \begin{bmatrix} R & X \\ -X & R \end{bmatrix}^{-1} = \frac 1 {(R^2 + X^2)} \begin{bmatrix} R & -X \\ X & R \end{bmatrix} $$

您可以将阻抗与电流矩阵相乘，或将导纳与电压矩阵相乘：

\begin{align} \begin{bmatrix} R & X \\ -X & R \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_{\cos} \\ i_{\sin} \end{bmatrix} &= \begin {bmatrix} R i_{\cos} + X i_{\sin} \\ R i_{\sin} - X i_{\cos} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} G & B \\ -B & G \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{\cos} \\ u_{\sin} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} G u_{\cos} + B u_{\sin} \ \ G u_{\sin} - B u_{\cos} \end{bmatrix} \end{align}

相位差也是一个矩阵：

$$ {\mathrm e}^{\mathrm j \varphi} = \cos \varphi + \mathrm j \sin \varphi \leftrightarrow \begin{bmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi \\ -\sin \ varphi & \cos \varphi \end{bmatrix} $$

导数只是\$ \omega \$乘以 90 度相位超前：

$$ \mathrm j \omega \leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 & \omega \\ -\omega & 0 \end{bmatrix} $$

到目前为止，我们可以将微分方程写成矩阵方程

\begin{align} U_0 \cos {\omega t} = u + RC \frac {\mathrm du} {\mathrm dt} \leftrightarrow \begin{bmatrix} U_0 \\ 0 \end{bmatrix} = (\begin{ bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + RC \begin{bmatrix} 0 & \omega \\ -\omega & 0 \end{bmatrix}) \mathbf u = \begin{bmatrix} 1 & RC \omega \\ -RC \omega & 1 \end{bmatrix} \mathbf u \end{align}

...并通过计算\$ \begin{bmatrix} 1 & RC \omega \\ -RC \omega & 1 \end{bmatrix} \$的逆矩阵来解决它，然后将其乘以\$ U_0 \$向量。

正如你所看到的，这个符号系统非常冗长，并且没有提供相位和幅度的直观表示（基本上一切都在笛卡尔坐标中）。

顺便说一句，幂作为向量点积有一个简洁的表示：

$$ \frac 1 2 (u_{\cos} i_{\cos} + u_{\sin} i_{\sin}) = \frac 1 2 {\mathbf i}^{\mathrm T} \mathbf u = \ frac 1 2 \begin{bmatrix} i_{\cos} & i_{\sin} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{\cos} \\ u_{\sin} \end{bmatrix} $$

简而言之：您可以将阻抗可视化为一种矢量，但矢量数学不能捕捉阻抗的行为。最初，复数在视觉上并不吸引人，但从数学上讲，它们的运行方式与电路中的阻抗功能相似。

这结合了我将分别讨论的两个概念：复阻抗如何表现，以及复数如何表示。

虽然电阻仅通过吸收能量来改变信号的幅度，但复阻抗可以改变信号的幅度和相位。这意味着阻抗可以存储来自信号的能量，然后将该能量返回到系统；这会导致响应延迟，对于周期性信号，这可能表现为任一方向的旋转。

所以对幅度和方向的综合影响让我们回到你的问题：我们为什么不使用向量？在一般意义上，我们做到了！电力系统使用称为相量的类似概念。

这表示当某个频率的信号（电流 I）通过阻抗 Z 时会发生什么。电流以幅度和相位（角度）开始，阻抗通过其自身的幅度和相位（旋转）进行修改。产生的电压 V 是幅度的乘积，由角度之和旋转。

在处理多相电源时，相量至关重要。其中每个相量都在跟踪复数值之间的差异。对于大多数音频或 RF 信号，如果有明显的公共参考，V、I、Z 相量会分解为单个（复数）值。

这导致了答案的最后一部分。复标量捕获与向量相同的信息——幅度和角度——但它们在数学上的操作方式不同。如果将 RF 频率描述为矢量值，则对阻抗进行建模将需要矩阵乘法来捕获对幅度和相位的影响；没有任何向量乘法会做。复数以与阻抗相同的方式运行，为表示阻抗的值和功能提供了完美的工具。