运算放大器如何根据反馈改变其行为？

理想的运算放大器行为本身是不变的；不同的是电路的行为。

在 + 反馈的情况下，添加的电压线中的某些东西是否会增加而不是减少误差？]

这是正确的。如果我们扰动（或干扰）输入电压，负反馈将起到衰减干扰的作用，而正反馈将起到放大干扰的作用。

我们如何分析两者都存在的电路？

像往常一样，假设存在净负反馈，这意味着非反相和反相输入电压相等。然后，检查你的结果，看看是否真的存在负面反馈。

我将通过解决您的示例电路来进行演示。

写，通过检查

$$v_+ = v_o + iR$$

$$v_- = v_o \frac{R_1}{R_1 + R_1} = \frac{v_o}{2}$$

设置这两个电压相等并解决

$$v_o + iR = \frac{v_o}{2} \rightarrow v_o = -2Ri$$

这意味着

$$v_o = 2v_+ = 2v $$

这是一件好事，因为我们期望这是一个非反相放大器，并且确实得到了正电压增益。有趣的是，输入电阻为负：\$\frac{v}{i} = -R\$。

但是，如果我们在输入端串联一个额外的电阻 \$R_S\$，我们可能会遇到麻烦。

在这种情况下，非反相输入电压的等式变为

$$v_+ = v_S \frac{R}{R_S + R} + v_o \frac{R_S}{R_S + R} $$

这意味着

$$v_o = \frac{2R}{R - R_S}v_S $$

请注意，当 \$R_S < R\$ 时，电压增益为正，正如非反相放大器所预期的那样。

然而，当 \$R_S > R\$ 时，同相放大器的电压增益为负，这是一个危险信号，表明我们的假设有问题。

错误的假设是存在负反馈，正是该假设允许我们在分析中将同相和反相输入电压设置为相等。

请注意，当 \$R_S\$ 从下方接近 \$R\$ 时，电压增益会变为无穷大。确实，当 \$R_S = R\$; 时没有净反馈；负反馈和正反馈抵消。这是净负反馈和净正反馈之间的“边界”。

这种发现危险信号的方法是否总是有效地确定净正反馈和负反馈之间的限制？

在这种情况下，我所做的是做出假设，在该假设下解决电路，并检查解决方案与假设的一致性。这是一种普遍有效的技术。

在这种情况下，假设存在净负反馈，这意味着运算放大器输入端电压相等。

当我们求解第二种情况下的电路时，我们发现净负反馈假设仅在 \$R_S \lt R\$ 时有效。如果 \$R_S \ge R\$，则没有或没有正反馈，因此，没有理由将输入端电压限制为相等。

现在，可能不清楚为什么在 \$R_S \gt R\$ 时会有正反馈。回想一下推导负反馈方程的设置：

在这里，我们从输入电压中减去输出电压的缩放版本，并将这个差值\$V_{in} - \beta V_{out}\$ 馈送到放大器的输入端。

显然，这假设 \$\beta\$ 为正，以便输入电压和缩放输出电压之间存在差异。

众所周知的结果是

$$V_{out} = \frac{A_{OL}}{1 + \beta A_{OL}} V_{in}$$

并且，在无限增益的极限 \$A \rightarrow \infty\$

$$V_{out} = \frac{1}{\beta}V_{in}$$

将此等式与上述第二种情况的结果进行比较，看到

$$\beta = \frac{R - R_S}{2R}$$

从中立即得出，只有当 \$R_S \lt R\$ 时，我们才会有净负反馈。

在接受的答案中，关于案例 3 的结论 \$R_S > R\$ 的评论中有一些讨论。事实上，案例 3 的分析是不正确的。

如上所示，如果我们假设运算放大器输入端电压相等，我们会找到一个解决方案，其中

$$v_o = \frac{2R}{R - R_S} v_S$$

现在假设，例如，\$R_S = 2R\$ 那么

$$v_o = -2v_S$$

而且，事实上，可以验证这是一种运算放大器输入端电压相等的解决方案

$$v_+ - v_- = 0$$

但是，如果我们稍微扰动输出

$$v_o = -2v_S + \epsilon$$

运算放大器输入端的电压受到扰动

$$v_+ - v_- = \frac{\epsilon}{6}$$

这与干扰的“方向”相同。因此，这不是一个稳定的解决方案，因为如果受到干扰，系统将“逃离”解决方案。

将此与 \$R_S < R\$ 的情况进行对比。例如，设 \$R_S = \frac{R}{2}\$。然后

$$v_o = 4v_S$$

扰动输出

$$v_o = 4V_S + \epsilon$$

并发现运算放大器的输入电压受到扰动

$$v_+ - v_- = -\frac{\epsilon}{6}$$

这与干扰的方向相反。因此，这是一个稳定的解决方案，因为如果受到干扰，系统将“运行”回到解决方案。

1. 运算放大器始终充当差分放大器，电路的行为取决于反馈网络。如果负反馈占主导地位，则电路工作在线性区域。否则，如果正反馈占主导地位，则处于饱和区。
2. 我认为条件\$V^+ = V^-\$，即虚短原理，只有在负反馈占主导地位时才有效。因此，如果您不确定负反馈占主导地位，请将运算放大器视为差分放大器。为了分析电路，根据 \$V_{in}\$ 和 \$V_{out}\$ 找到 \$V^+\$ 和 \$V^-\$。然后代入以下公式，$$V_{out} = A_v(V^+-V^-)$$ 计算 \$V_{out}/V_{in}\$ 然后应用限制 \$A_v\rightarrow \infty\$
3. 现在，如果 \$V_{out}/V_{in}\$ 是有限的，则净反馈是负的。否则，如果 \$V_{out}/V_{in} \rightarrow \infty\$，则净反馈为正。

示例：
根据问题中给出的电路，$$V^+ = V_{in}\ \text{and}\ V^- = V_{out}/2$$ $$V_{out} = A_v(V_{ in} - V_{out}/2)$$ $$\lim_{A_v\rightarrow\infty}\frac{V_{out}}{V_{in}} = \lim_{A_v\rightarrow\infty}\frac{ A_v}{1+A_v/2} = 2$$ $$V_{out} = 2V_{in}$$ \$V_{out}/V_{in}\$ 是有限的，净反馈是负的。

\$\mathrm{\underline{Non-ideal\ source:}}\$
在上面的分析中，假设\$V_{in}\$ 是一个理想的电压源。考虑 \$V_{in}\$ 不理想且具有内阻 \$R_s\$ 的情况。$$V^+ = V_{out}+(V_{in}-V_{out})f_1\ \text{ 和 }\ V^- = V_{out}/2$$ 其中，\$f_1 = \dfrac {R}{R+R_s}\$ $$V_{out} = A_v(V_{out}/2+(V_{in}-V_{out})f_1)$$ $$V_{out}(1- A_v/2+A_vf_1) = A_vf_1V_{in}$$ $$\lim_{A_v\rightarrow\infty}\frac{V_{out}}{V_{in}} = \lim_{A_v\rightarrow\infty}\frac {f_1}{\frac{1}{A_v}-\frac{1}{2}+f_1}$$ $$\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{f_1}{f_1 -\frac{1}{2}}$$

案例1：\$R_s\rightarrow 0,\ f_1\rightarrow 1,\V_{out}/V_{in}\rightarrow 2\$

case2: \$R_s\rightarrow R,\ f_1\rightarrow 0.5,\ V_{out}/V_{in}\rightarrow \infty\$

\$%case3: R_s \rightarrow \infty,\ f_1 \rightarrow 0,\ V_{out}/V_{in} \rightarrow 0\$

在 case1 中输出是有限的，因此在这些条件下（\$R_s < R\$）净反馈是负的。但在 \$R_s = R\$ 时，负反馈无法占主导地位。

\$\mathrm{\underline{Application:}}\$
Case1 是该电路的正常工作，但它不用作增益为 2 的放大器。如果我们将此电路作为负载连接到任何电路，则该电路可以起作用作为负负载（释放功率而不是吸收功率）。

继续分析，通过\$R\$（从内到外）的电流为，$$I_{in}=\frac{V_{in}-V_{out}}{R}=\frac{-V_ {in}}{R}$$ 计算等效阻力 \$ R_{eq}\$ $$R_{eq} = \frac{V_{in}}{I_{in}} = -R$$

该电路可以作为负阻抗负载，也可以作为负阻抗转换器。

将其分析为线性情况仍然很有用，您可以假设 -Vin 始终等于 +Vin。我将重绘以显示通过电阻器的输入电压，因为正如 OP 在他的图中所示，“v”可以假定为电压源，因此“R”的影响无关紧要：-

^{模拟此电路- 使用CircuitLab创建的原理图}

\$V_X = (V_{IN} - V_{OUT})(\dfrac{R2}{R1+R2})+ V_{OUT}\$

并且： -

\$V_X = V_{OUT}(\dfrac{R4}{R3+R4})\$（因为两个运算放大器输入相同，即仍然是线性分析）

将 \$V_X\$ 的两个公式相等，我们得到： -

\$V_{OUT}(\dfrac{R4}{R3+R4}) = (V_{IN} - V_{OUT})(\dfrac{R2}{R1+R2})+ V_{OUT}\$

重新排列我们得到： -

\$V_{OUT}(-1 +\dfrac{R2}{R1+R2} +\dfrac{R4}{R3+R4})= V_{IN}(\dfrac{R2}{R1+R2})\ $

健全性检查 - 在正常情况下，当 R2 无限时，等式归结为： -

\$V_{OUT}(-1 +1 +\dfrac{R4}{R3+R4})= V_{IN}(1)\$ 我们看到： -

\$\dfrac{V_{OUT}}{V_{IN}} = 1+\dfrac{R3}{R4}\$ 所以没关系，回到方程： -

\$V_{OUT}(-1 +\dfrac{R2}{R1+R2} +\dfrac{R4}{R3+R4})= V_{IN}(\dfrac{R2}{R1+R2})\ $ 我们看到：-

\$\dfrac{V_{OUT}}{V_{IN}} = \dfrac{-\dfrac{R2}{R1+R2}}{1-\dfrac{R2}{R1+R2}-\dfrac{R4 }{R3+R4}}\$

显然，当分母趋向于零时，我们会接近一个“问题”（即无限增益），这发生在：-

\$\dfrac{R2}{R1+R2} + \dfrac{R4}{R3+R4} = 1\$

所以希望这是有道理的。通常，对于线性操作，电路增益取决于所有四个电阻器，但如果电阻器的比率如上所述，则增益是无限的。

因为问题是：如何分析？这里有一种方法来分析这样一个相对快速和容易的电路：

从经典反馈公式（H. Black）我们知道，对于具有无限开环增益的理想化运算放大器，闭环增益很简单（参见答案之一中带有四个电阻的电路图）：

$$A_{cl} = -\frac{H_f}{H_r}$$

（\$H_f\$：前向阻尼因子；\$H_r\$：反馈因子。）

这两个函数都可以很容易地从电路中导出：

$$H_f = \frac{R_2}{R_1+R_2}$$

和

$$H_r = \frac{R_1}{R_1+R_2} - \frac{R_4}{R_3+R_4}$$

因此，结果是

$$A_{cl} = \dfrac{\dfrac{R_2}{R_1+R_2}}{\dfrac{R_4}{R_3+R_4}-\dfrac{R_1}{R_1+R_2}}$$

值得一提的是，该电路的优点如下：我们可以选择所需的稳定性裕度和/或使用非补偿运算放大器来获得较低的增益值（数据表：稳定增益>Acl，仅限最小值）。

理由：从上面的表达式可以得出，可以将反馈因子与相应的开环增益匹配（对于一定的稳定性裕度） - 对闭环增益值没有限制。这种方法可以看作是一种特殊的“外频补偿”。

换句话说：我可以选择更少的反馈（有利于稳定性）和 - 同时 - 闭环增益 Acl 的小值。