我们从麦克斯韦方程开始

$$ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0 . $$

对于核心的平均路径 (\$c\$) 内的表面 (\$s\$)，我们采用两侧的表面积分。

$$ \int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s} $ $

我们用Stroke's Theorem来改写左边；其中 \$c\$ 与磁通量 \$\Phi\$ 的方向相同。

$$ \oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu NI $$

（左边的积分结果是 \$NI\$，因为绕组上有 \$N\$ 不同的导线。）

这种磁芯内部的磁场密度被认为是均匀的。所以，我们可以写

$$ B \ell_c \overset\sim= \mu NI \暗示 B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c}; $$

其中 \$\ell_c\$ 是核心的平均路径长度。

我们可以通过使用磁芯的横截面积\$A_c\$，从我们找到的磁通量密度中找到磁通量。

$$ \Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c} $$

根据定义，电感是每次施加电流产生的磁通量，即

$$ L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}。$$

因此，我们发现系统的电感为

$$ \boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }。$$

但是，所有其他来源（例如）给出这样的电感器的电感为

$$ L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}。$$

我在推导中犯了什么错误？请详细说明。