教科书解释了一种情况，当您有 2 条不匹配的传输线（不同的特性阻抗）时，您可以在其间连接一条新线，以使输入阻抗匹配。
假设我有一条特性阻抗 \$Z_1=100 \Omega\$ 的线 #1。
线#1 连接到线#3，\$Z_3=20 \Omega\$。存在不匹配，因此存在反射。
如果我在其间连接另一个传输并且其长度是四分之一波长，那么这条新传输线（我们称之为 Line #2）将匹配 Line #1 的特性阻抗。
\$ Z_2=\sqrt{Z_1\times Z_3}=\sqrt{100 \times 20}=44.7 \Omega \$。
\$Z_{in}=\frac{Z_2^2}{Z_3}=\frac{44.7^2}{20}=100 \Omega\$。
因此，线路#1 和线路#2 交界处的总输入阻抗\$Z_{in}\$ 将等于\$Z_1\$。因此，在这个交界处没有反射。
但我的问题是：在2号线和3号线的交界处呢？既然\$Z_2=44.7\Omega\$不等于\$Z_3=20\Omega\$，那么它们的交界处会有反射吗？如果是这样，使用匹配有什么意义？
阻抗匹配很棘手，但四分之一波传输线的作用是从一个阻抗映射到另一个阻抗。线路的实际阻抗与输入或输出阻抗都不匹配——这完全是意料之中的。
然而，在给定频率下，当插入具有正确阻抗的正确设计的四分之一波长线时，输出阻抗将与输入完美匹配。在您的情况下，变压器将使 \$20\Omega\$ 阻抗看起来好像是 \$100\Omega\$ 阻抗，这意味着没有不匹配。本质上，它将波从一个特性阻抗引导到另一个特性阻抗。
最简单的可视化方法是在史密斯圆图上绘制两个点 0.4 (\$20\Omega\$) 和 2 (\$100\Omega\$)。然后以与两个点相交的电阻/实轴（中间的线）为中心画一个圆。如果您的计算正确，您会发现该点位于 0.894 (\$44.7\Omega\$)。这在下面的 \$500\mathrm{MHz}\$ 处显示，但频率仅在将电气长度转换为物理长度时才重要。
四分之一波变压器的作用是将给定点围绕其在史密斯圆图上的特征阻抗旋转 \$180^\circ\$（即 \$\lambda/4 = 90^\circ\$ 正向加上 \$90^\circ\ $反向）。
这样做的确切原因很复杂。但是长推导的最终结果是，对于阻抗为 \$Z_0\$ 的传输线连接到阻抗为 \$Z_L\$ 且长度为 \$l\$ 的负载，则输入端的阻抗为经过：
$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\left(\beta l\right)}{Z_0+jZ_L\tan\left(\beta l\right)}$$
这是一个丑陋的方程，但如果电长度 \$\beta l\$ 是 \$\lambda/4\$ (\$90^\circ\$)，就会发生这种情况，\$\tan\$ 部分到无穷大，这使得方程可以简化为：
$$Z_{in}=Z_0\frac{Z_0}{Z_L}=\frac{(Z_0)^2}{Z_L}\rightarrow Z_0=\sqrt{\left(Z_{in}Z_L\right)}$$
这是您的计算的来源。
使用四分之一波变压器，负载看起来与源匹配。换句话说，变压器匹配它的两个接口，而不仅仅是输入端。
您还可以从这个等式中看出为什么变压器仅适用于单一频率 - 因为它依赖于物理长度为 \$\lambda/4\$。实际上，您可以（通常使用高级设计工具）在一定频率范围内实现近似匹配 - 基本上是足够接近但不完全匹配。
在第 2 行和第 3 行之间的交界处会有反射。事实上，必须有反射才能工作。
您正在做的是选择第 2 行的 \$Z_0\$，以便在传播回 1/2 结点后 2/3 转换处的反射准确地取消 1/2 转换处的反射。您正在为反射波设置相消干涉，为透射波设置相长干涉。
请注意，由于第 2 行的长度必须为四分之一波长，因此该技术只能在一个特定频率下完美工作。