与有限元分析一样，只有在已知基函数 psi(x) 时才能给出特定量的特定表达式。我不知道 Voronoi 网格是否有标准的基函数系统，但一般来说，系统的势函数将通过电势的节点值以某种方式线性参数化。

$$\Phi(x)=\Phi(\phi_1,\dots,\phi_n,x)=\sum_k\phi_k\psi_k(x)$$

节点电位的具体值将通过在给定边界条件下在有限元分析框架内求解高斯定律来计算。这简化为一个线性方程组，我想你已经用你的软件解决了。

另一方面，欧姆定律的连续形式通常说明电流密度

$$j=\sigma E=-\sigma \nabla \Phi$$

或者对于我们的有限元案例

$$j(x)=-\sigma(x) \nabla_x \Phi(\phi_1,\dots,\phi_n,x)$$

如果您想知道通过 Voronoi 单元 V_i 的小面 A_ij 的电流，您必须对小面表面积上的电流密度进行积分。对于您的平面问题，这实际上将是一条线（具有正常 n）积分和与层高的乘积。

$$I_{ij}=\int_{A_{ij}} (j\cdot n)dA=h\cdot\int_{s_{ij}} (j\cdot n)ds$$

由于电势的特定 Ansatz 这将产生

$$I_{ij}=-\sum_k\phi_k\int_{A_{ij}} \sigma(x)\nabla\psi_k(x)dA=\sum_k\phi_k\Gamma_{kij}$$

其中 Gamma 是离散系统的电导矩阵。这里的关键点是没有办法将电导矩阵与所选的基函数联系起来。换句话说，基函数决定了电势在某些节点处具有某些值意味着什么。在不指定基函数的情况下，节点之间的势能（因此在当前积分表面上）可以是任何满足高斯定律的东西，这是很大的自由度。

如果基函数的设计方式是界面 A_ij 上的电势行为仅对称地取决于节点值 phi_i 和 phi_j，则电导矩阵的形式为

$$\Gamma_{kij} = G_{ij}(\delta_{ki}-\delta_{kj})$$

因此，只有在这种特殊情况下，才定义了“电池 i 和电池 j 之间的电导”，并且电流采用了形式

$$I_{ij}=G_{ij}\cdot(\phi_i-\phi_j)$$

同样，您可以将电阻计算为电导的倒数

$$R_{ij}=1/G_{ij}$$

在一般情况下，FEA 量（如上面的 Gamma）可能取决于节点的“幼稚”数量，这在其他应用领域中也是已知的。例如，在结构力学中，我们可能会遇到“质量矩阵”，其中质量既不是点质量也不是扩展刚体，而是一些作用于多个节点坐标的实体。当涉及到幼稚的物理解释时，这通常是一个障碍。在您的情况下，这可能适用于将系统解释为“电阻网络”的能力，具体取决于具体选择的基函数有多讨厌。

你的问题是不是比看起来简单得多？在我看来，您正在寻找一个可以集成的区域，但是电阻器模型的简化是您不再需要这样做。您正在 P1 和 P2 之间的线上进行积分。你的公式是说在 P1 和单元格边缘之间的长度上积分，然后从单元格边缘到 P1。

现在，如果您查看总电流分布，您还必须对通过 P3 的路径和通过 P4 的路径进行一次。当在 P1 和 P2 之间施加电压时，电流将分布在 3 条路径上（这 3 条路径/总电阻并联。然后您可以找出通过 R12 和 R21 的电流量。

（至于电流密度：我想如果你知道通过R12和R21的电流，你应该算出它代表的面积：h*该区域相邻边界的长度。我认为它的有限元部分会做一些对此的假设（使其足够小，它们都将变得大致相同，因为它是一种材料，并且您从每个平面的重心开始）。）

我的 2 美分