这似乎很奇怪！我知道最终的噪声功率不取决于电阻，但仍然无限的噪声密度似乎很荒谬。

不，这既不奇怪也不荒谬，因为您将 0 除以 0：

您通过平方和乘以 R 从电流中获得功率，因此您在分子中得到一个 R，在分母中得到一个 R，两者都抵消了：

$\require{cancel}P = \Delta f(nd_I)^2R = \Delta f \sqrt{\frac{k_B T}{R}}^2 R = \Delta f\frac{k_B T}{\cancel{R}} \cancel{R} = \Delta fk_BT$
与 R 无关。

因此，即使电流噪声密度是无限的，噪声功率也不是。

这看起来有点难看，但也许如果我们更多地考虑一下零电阻线是什么，我们可以弄清楚为什么我们不会得到一些物理上不切实际的东西。

超导体

获得零电阻的一种方法是使用超导体。这些是非常奇怪的材料 - 它们具有巨大的量子效应，但是您在问题中使用的 Johnson-Nyquist 噪声理论是半经典的，因此我们可以合理地期望它在发生大量量子事件时不起作用。

事实上，在超导体中，有两种导电“流体”共享同一个空间。一种是普通流体，由电子组成，其作用类似于普通材料中的电子。这将具有热波动，就像导致约翰逊奈奎斯特噪声的那些一样。另一种称为超流体，由铜对组成，阻力为零。所以它会短路任何外部电流或电压（这就是使超导体成为完美导体的原因）。但它也会使来自正常流体的噪声电压短路。材料中的每一次热波动都会立即被超流体中的运动完全抵消，因此不会出现约翰逊-奈奎斯特噪声。可能还有其他噪音，但那是另一个话题。

不是超导体

这让我们用普通材料制作零电阻线，这当然是不可能的。所以问题不在于电流是无限的，而在于当我们减小电阻时它趋于无穷大。为了看看这是否有意义，我们必须考虑将阻力降低到零的真正含义。

一块材料的电阻是与材料相关的常数乘以长度除以横截面积。获得零阻力的两种方法是：

1. 将面积增加到无穷大。在无限区域具有无限噪声电流似乎是合理的，电流密度与有限材料块的电流密度相同。

2. 将长度减小到零。这个有点棘手，我不确定我的解决方案是否正确。但我认为这归结为几何问题。如果环周长趋于零，则线的厚度也必须趋于零，否则它不再是线环。这意味着有一个最小阻力，您可以合理地应用约翰逊-奈奎斯特定理。除此之外，您还有一块带孔的铜板，您必须进行不同的分析。有一个完整的物理学子领域称为波动电动力学，您可能会在那里找到详细的答案。

仍然无限的噪声密度似乎很荒谬。

您假设，这同样荒谬。但是，是的，如果您在没有电阻的系统中有最轻微的电压，您将获得无限电流。欧姆。$R=0$

但是，热噪声公式实际上是通过电压情况得出的（即，您得到电荷（电子）的能级波动，这些可以作为电压波动观察到）。因此，在超导体中，这种看待热噪声的方式就失效了。

看起来确实很奇怪。确实是错的！Jack B 提出了关键点：Johnson-Nyqvist 噪声是一个半经典模型，即它是一种简化的近似值，在高温下（在固态物理大致意思是，不使用液氦冷却）。正是在这些条件下，可测量的行为“看起来很经典”，因为热波动破坏了超导或量子霍尔效应等宏观量子现象出现所必需的相位相干性。碰巧的是，在电子领域，出于明显的实际原因，我们基本上总是在这种经典机制下工作。

但同样的热波动（声子碰撞）也不可避免地会导致一些非零电阻率。因此，您只能通过使横截面（在这种情况下，正如杰克所说，电流完全合理也变得无限，就像质量和其他所有东西一样）或通过将长度减少到几乎为零，在这种情况下，您没有半经典描述所必需的大规模系统。$R=\tfrac{\rho\cdot\ell}{A}\to 0$$A$$\ell$

阅读紫外线灾难，这在辐射能量方面几乎是一个类似的悖论，实际上是首先发展量子力学理论的动机之一，因为经典物理学显然给出了虚假的结果。