有因变量吗？

Excel 中的趋势线来自因变量“lat”对自变量“lon”的回归。当您不指定因变量时，可以得到您所谓的“常识线” ，并平等对待纬度和经度。后者可以通过应用PCA获得。特别是，它是这些变量的协方差矩阵的特征向量之一。您可以将其视为一条最小化从任何给定$(x_i,y_i)$点到一条线本身的最短距离的线，即您绘制一条线的垂线，并最小化每个观察值的总和。

以下是你如何在 R 中做到这一点：

> para <- read.csv("para.csv")
> plot(para)
> 
> # run PCA
> pZ=prcomp(para,rank.=1)
> # look at 1st PC
> pZ$rotation
           PC1
lon 0.09504313
lat 0.99547316
> 
> colMeans(para) # PCA was centered
       lon        lat 
-0.7129371 53.9368720 
> # recover the data from 1st PC
> pc1=t(pZ$rotation %*% t(pZ$x) )
> # center and show
> lines(pc1 + t(t(rep(1,123))) %*% c)

当您了解 Excel 回归中的变量不相等时，您从 Excel 获得的趋势线与 PCA 的特征向量一样是常识。在这里，您正在最小化从$y_i$到$y(x_i)$的垂直距离，其中 y 轴是纬度，x 轴是经度。

是否要平等对待变量取决于目标。这不是数据的内在质量。您必须选择正确的统计工具来分析数据，在这种情况下，请在回归和 PCA 之间进行选择。

一个没有被问到的问题的答案

那么，为什么在您的情况下，Excel 中的（回归）趋势线似乎不是适合您的情况的工具？原因是趋势线是对一个没有被问到的问题的答案。这就是为什么。

Excel 回归试图估计直线$lat=a+b \times lon$的参数。所以，第一个问题是纬度甚至不是经度的函数，严格来说（见帖子末尾的注释），它甚至不是主要问题。真正的麻烦是你甚至对滑翔伞的位置都不感兴趣，你对风感兴趣。

想象一下没有风。滑翔伞会一遍又一遍地绕同一个圆圈。趋势线会是什么？显然，它是一条水平线，它的斜率为零，但这并不意味着风是在水平方向吹的！

这是一个模拟图，当沿 y 轴有强风时，滑翔伞正在形成完美的圆圈。您可以看到线性回归$y\sim x$如何产生无意义的结果，即水平趋势线。实际上，它甚至有点负面，但并不重要。风向用红线表示：

用于模拟的 R 代码：

t=1:123
a=1 #1
b=0 #1/10
y=10*sin(t)+a*t
x=10*cos(t)+b*t

plot(x,y,xlim=c(-60,60))
xp=-60:60
lines(b*t,a*t,col='red')

model=lm(y~x)
lines(xp,xp*model$coefficients[2]+model$coefficients[1])

因此，风向显然与趋势线完全不一致。当然，它们是相互关联的，但以一种非平凡的方式。因此，我声明 Excel 趋势线是对某些问题的回答，但不是您提出的问题。

为什么选择 PCA？

正如您所指出的，滑翔伞的运动至少有两个组成部分：风的漂移和滑翔伞控制的圆周运动。当您连接绘图上的点时，可以清楚地看到这一点：

一方面，圆周运动对你来说真的很烦人：你对风很感兴趣。虽然另一方面，你不观察风速，你只观察滑翔伞。因此，您的目标是从可观测滑翔伞的位置读数中推断出不可观测的风。这正是因子分析和 PCA 等工具有用的情况。

PCA 的目的是通过分析输出中的相关性来分离确定多个输出的几个因素。当输出与线性因素相关联时它是有效的，这恰好是您的数据中的情况：风漂移只是添加到圆周运动的坐标中，这就是 PCA 在这里工作的原因。

PCA 设置

因此，我们确定 PCA 应该有机会，但我们将如何实际设置它？让我们从添加第三个变量时间开始。假设采样频率恒定，我们将为每个 123 次观测分配时间 1 到 123。以下是数据的 3D 图的样子，揭示了它的螺旋结构：

下图将滑翔伞的假想旋转中心显示为棕色圆圈。您可以看到它是如何随风在纬度平面上漂移的，而带有蓝点的滑翔伞则在它周围盘旋。时间在纵轴上。我将旋转中心连接到仅显示前两个圆圈的滑翔伞的相应位置。

对应的R代码：

library(plotly)       

 para <- read.csv("para.csv")
 n=24

   para$t=1:123 # add time parameter

   # run PCA
     pZ3=prcomp(para)
     c3=colMeans(para) # PCA was centered
     # look at PCs in columns
       pZ3$rotation

       # get the imaginary center of rotation 
       pc31=t(pZ3$rotation[,1] %*% t(pZ3$x[,1]) )
     eye = pc31 + t(t(rep(1,123))) %*% c3
     eyedata = data.frame(eye)

     p = plot_ly(x=para[1:n,1],y=para[1:n,2],z=para[1:n,3],mode="lines+markers",type="scatter3d") %>%
       layout(showlegend=FALSE,scene=list(xaxis = list(title = 'lat'),yaxis = list(title = 'lon'),zaxis = list(title = 't'))) %>%
     add_trace(x=eyedata[1:n,1],y=eyedata[1:n,2],z=eyedata[1:n,3],mode="markers",type="scatter3d") 
     for( i in 1:n){
         p = add_trace(p,x=c(eyedata[i,1],para[i,1]),y=c(eyedata[i,2],para[i,2]),z=c(eyedata[i,3],para[i,3]),color="black",mode="lines",type="scatter3d")
       }

subplot(p)

滑翔伞旋转中心的漂移主要是由风引起的，漂移的路径和速度与风的方向和速度相关，是不可观测的关注变量。这是投影到纬度平面时漂移的样子：

PCA 回归

所以，早些时候我们确定常规线性回归在这里似乎效果不佳。我们还找到了原因：因为它没有反映底层过程，因为滑翔伞的运动是高度非线性的。它是圆周运动和线性漂移的结合。我们还讨论了在这种情况下因素分析可能会有所帮助。以下是对这些数据建模的一种可能方法的概述：PCA 回归。但首先我将向您展示 PCA 回归拟合曲线：

这已如下获得。如前所述，在具有额外列 t=1:123 的数据集上运行 PCA。你得到三个主要成分。第一个只是 t。第二个对应于 lon 列，第三个对应于 lat 列。

我将后两个主成分拟合到$a\sin(\omega t+\varphi)$形式的变量中，其中$\omega,\varphi$是从分量的光谱分析中提取的。它们恰好具有相同的频率但不同的相位，考虑到圆周运动，这并不奇怪。

就是这样。要获得拟合值，您可以通过将 PCA 旋转矩阵的转置插入到预测的主成分中来从拟合成分中恢复数据。我上面的 R 代码显示了该过程的一部分，其余的你可以很容易地弄清楚。

结论

有趣的是，当涉及到底层过程稳定且输入通过线​​性（或线性化）关系转化为输出的物理现象时，PCA 和其他简单工具的功能有多么强大。所以在我们的例子中，圆周运动是非常非线性的，但我们很容易通过在时间 t 参数上使用正弦/余弦函数对其进行线性化。如您所见，我的绘图仅用几行 R 代码生成。

回归模型应该反映底层过程，那么只有你可以期望它的参数是有意义的。如果这是在风中飘荡的滑翔伞，那么像原始问题中的简单散点图将隐藏过程的时间结构。

此外，Excel 回归是一种横截面分析，其中线性回归效果最好，而您的数据是时间序列过程，其中观察按时间排序。时间序列分析必须在这里应用，它是在 PCA 回归中完成的。

函数注释

由于滑翔伞是在做圆周运动，所以会有多个纬度对应一个经度。在数学中，函数$y=f(x)$将值$x $映射到单个值$y$。这是多对一的关系，这意味着多个$x$可能对应于$y$，但不是多个$y$对应于单个$x$。这就是为什么$lat=f(lon)$严格来说不是函数的原因。

答案可能与您如何在心理上判断与回归线的距离有关。标准（类型 1）回归最小化平方误差，其中误差是根据到直线的垂直距离计算的。

类型 2 回归可能更类似于您对最佳线的判断。其中，最小化的平方误差是与直线的垂直距离。这种差异有许多后果。一个重要的问题是，如果您在绘图中交换 X 轴和 Y 轴并重新拟合线，您将在类型 1 回归的变量之间获得不同的关系。对于类型 2 回归，关系保持不变。

我的印象是，关于在哪里使用 Type 1 与 Type 2 回归存在相当多的争论，因此我建议在决定应用哪一个之前仔细阅读差异。在一个轴要么通过实验控制，要么至少以比另一轴小得多的误差测量的情况下，通常建议使用 1 型回归。如果不满足这些条件，则类型 1 回归将使斜率偏向 0，因此建议使用类型 2 回归。然而，由于两个轴上有足够的噪声，2 型回归显然倾向于将它们偏向 1。Warton等人。（2006 年）和史密斯（2009 年）是理解辩论的好来源。

另请注意，在类型 2 回归的广泛类别（长轴、缩减长轴和标准长轴回归）中有几种细微不同的方法，并且关于具体方法的术语是不一致的。

Warton、DI、IJ Wright、DS Falster 和 M. Westoby。2006.异速生长的双变量线拟合方法。生物学。修订版81：259–291。doi:10.1017/S1464793106007007

Smith, RJ 2009。关于使用和误用减小的主轴进行线拟合。是。J.物理。人类警察。140：476–486。doi:10.1002/ajpa.21090

编辑：

@amoeba 指出我上面所说的类型 2 回归也称为正交回归；这可能是更合适的术语。正如我上面所说，这方面的术语不一致，需要格外小心。

Excel 试图回答的问题是：“假设 y 取决于 x，哪一行预测 y 最好”。答案是，由于 y 的巨大变化，没有哪一行可能特别好，而 Excel 显示的内容是你能做的最好的。

如果您采用建议的红线，并继续向上直到 x = -0.714 和 x = -0.712，您会发现它的值与图表相差甚远，并且与相应的 y 值相差很大.

Excel 回答的问题不是“哪条线最接近数据点”，而是“哪条线最适合从 x 值预测 y 值”，并且它正确地做到了这一点。

我不想在其他答案中添加任何内容，但我想说的是，您被错误的术语误入歧途，特别是在某些统计课程中使用的术语“最佳拟合线”。

直观地说，“最合适的线”看起来就像你的红线。但是 Excel 生成的线并不是“最合适的线”；它甚至没有试图成为。这条线回答了这个问题：给定 x 的值，我对 y 的最佳预测是什么？或者，每个 x 值的平均 y 值是多少？

注意 x 和 y 之间的不对称；使用“最佳拟合线”这个名称掩盖了这一点。Excel 对“趋势线”的使用也是如此。

以下链接解释得很好：

https://www.stat.berkeley.edu/~stark/SticiGui/Text/regression.htm

您可能想要更类似于上面答案中所谓的“类型 2”，或伯克利统计课程页面上的“SD Line”。