我个人最令人惊讶的是关于样本均值和方差的问题，但这里有另一个（可能）令人惊讶的表征：如果和是具有有限方差的和独立，那么和是正常的。$X$$Y$$X+Y$$X-Y$$X$$Y$

直观地说，我们通常可以通过散点图识别变量何时不独立。所以想象一个看起来独立现在旋转 45 度再看一遍：如果它看起来还是独立的，那么和坐标分别一定是正常的（当然这都是松散的说法）。$(X,Y)$$X$$Y$

要了解直观位为何有效，请查看

$$\left[ \begin{array}{cc} \cos45^{\circ} & -\sin45^{\circ} \newline \sin45^{\circ} & \cos45^{\circ} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \newline y \end{array} \right]= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{array}{c} x-y \newline x+y \end{array} \right]$$

使差分熵最大化的具有固定方差的连续分布是高斯分布。

关于这一点有一整本书：“正态概率定律的特征”，AM Mathai & G. Perderzoli。JASA（1978 年 12 月）中的简短评论提到以下内容：

令为独立随机变量。那么和是独立的，其中，当且仅当 [是]正态分布。$X_1, \ldots, X_n$$\sum_{i=1}^n{a_i x_i}$$\sum_{i=1}^n{b_i x_i}$$a_i b_i \ne 0$$X_i$

Stein 引理提供了一个非常有用的表征。 是标准高斯 iff 对于所有具有 绝对连续函数。$Z$

$$E f’(Z) = E Z f(Z)$$ $f$$E|f’(Z)| < \infty$