虽然看起来对数转换变量的平均值更可取（因为这通常是对数正态参数化的方式），但从实际的角度来看，平均值的对数通常更有用。

当您的模型不完全正确时尤其如此，引用 George Box 的话：“所有模型都是错误的，有些是有用的”

假设某个数量是对数正态分布的，比如血压（我不是医生！），我们有两个人口，男性和女性。有人可能会假设女性的平均血压高于男性。 这恰好对应于询问女性的平均血压对数是否高于男性。这与询问女性对数血压的平均值是否高于男性不同。

不要对分布的教科书参数化感到困惑——它没有任何“真正的”含义。由于数学方便，对数正态分布由对数 ( ) 的均值参数化，但同样我们可以选择通过其实际均值和方差对其进行参数化$\mu_{\ln}$

$\mu = e^{\mu_{\ln} + \sigma_{\ln}^2/2}$

$\sigma^2 = (e^{\sigma^2_{\ln}} -1)e^{2 \mu_{\ln} + \sigma_{\ln}^2}$

显然，这样做会使代数变得非常复杂，但它仍然有效并且意味着同样的事情。

查看上面的公式，我们可以看到转换变量和转换均值之间的重要区别。平均值的对数随着的增加而增加，而对数的平均值不会。$\ln(\mu)$$\sigma^2_{\ln}$$\mu_{\ln}$

这意味着平均而言，女性的血压可能高于男性，即使对数正态分布的平均参数 ( ) 相同，仅仅是因为方差参数更大。使用 log(Blood Pressure) 的测试会忽略这一事实。$\mu_{\ln}$

到目前为止，我们已经假设血压是对数正常的。如果真实分布不是对数正态分布，那么转换数据（通常）会使事情变得比上面更糟——因为我们不太清楚我们的“均值”参数的实际含义。即我们不会知道我上面给出的这两个均值和方差方程是正确的。使用这些来回转换会引入额外的错误。

这是我在学习生物统计学时参加的高级数据分析课程中的两分钱（尽管除了教授的笔记之外我没有任何参考资料）：

它归结为您是否需要解决数据中的线性和异方差（不等方差），或者只是线性。

她指出，转换数据会影响模型的线性和方差假设。例如，如果您的残差两者都存在问题，您可以考虑转换数据，这可能会解决这两个问题。转换转换了误差，从而转换了它们的方差。

相反，使用链接函数只影响线性假设，而不影响方差。对数取平均值（期望值），因此残差的方差不受影响。

总之，如果您对非常量方差没有问题，她建议使用链接函数而不是转换，因为您不想在这种情况下更改方差（您已经满足假设）。

如果真正的响应不是对称的（未按正态分布），但对数转换响应是正态的，则使用转换响应的线性回归，指数系数为我们提供几何平均值的比率。

如果响应名副其实是对称的（按正态分布），但解释性 (X) 和响应之间的关系不是线性的，但对数期望值是 X 的线性函数，则使用带有对数链接的 GLM，指数系数为我们提供算术平均值的比率