可能有助于您理解的一点：

如果$x$是正态分布的并且$a$和$b$是常数，那么$y=\frac{x-a}{b}$也是正态分布的（但可能具有不同的均值和方差）。

由于残差只是 y 值减去估计的平均值（标准化残差也除以标准误差的估计值），因此如果 y 值是正态分布的，那么残差也是如此，反之亦然。因此，当我们谈论理论或假设时，我们谈论哪个并不重要，因为一个暗示另一个。

因此，对于这导致的问题：

1. 是的，两者，要么
2. 不，（但是，各个 y 值将来自具有不同方法的法线，如果组合在一起，它们可能看起来不正常）
3. 残差的正态性意味着组的正态性，但是在某些情况下，最好按组检查残差或 y 值（合并可能会掩盖组中明显的非正态性）或在其他情况下一起查看（观察不足每组确定，但你可以一起判断）。
4. 这取决于您所说的比较是什么意思，您的样本量有多大，以及您对“近似”的感觉。正态性假设仅对结果的测试/区间是必需的，您可以拟合模型并描述点估计是否存在正态性。中心极限定理说，如果样本量足够大，那么即使残差不是，估计值也将近似正常。
5. 这取决于您要回答的问题以及您对“近似”的满意程度。

另一个重要的理解点（但在学习中经常被混为一谈）是这里有两种残差：理论残差是观察值与真实理论模型之间的差异，以及观察到的残差是差异在观测值和当前拟合模型的估计值之间。我们假设理论残差是独立同分布的。观察到的残差不是 i、i 或分布正态（但平均值为 0）。然而，出于实际目的，观察到的残差确实估计了理论残差，因此仍可用于诊断。

简短的回答：

1. 残差
2. 不
3. 取决于，两种方法都有优点和缺点
4. 为什么不？比较中位数而不是平均值可能更有意义。
5. 从您告诉我们的情况来看，可能违反了正态性假设

更长的答案：

假设是因变量 (y) 是正态分布的，但对于不同的组具有不同的平均值。因此，如果您仅绘制 y 的分布，它很容易看起来与您的标准钟形正态曲线非常不同。残差代表 y 的分布，这些差异均值“被过滤掉”。

或者，您可以分别查看 y 在每个组中的分布。这也过滤掉了组间均值的差异。这样做的好处是，您还可以获得有关每个组中分布的信息，这在您的情况下似乎是相关的。缺点是每个组包含的观察值少于查看残差时获得的组合数据集。此外，如果您有很多组，您将无法有意义地比较组，例如因为您在模型中输入了许多预测变量或在模型中输入了（准）连续预测变量。因此，如果您的模型仅包含一个分类预测变量，并且每组中的观察数量足够大，那么单独检查每组中 y 的分布可能是有意义的。

根据假设的定义，随机变量$Y$是一个线性组合$X$和残差，所有其他事情都是不变的。
如果$X$不是随机的，并且误差项是正常的，那么$Y$是正常的，残差也是正常的。

问题1）
假设是指两件事。首先，对于误差项的正态性。第二，对模型的线性和完整性。这两件事都是推理所必需的。但如果满足这些假设，那么残差$e$和$Y$是正态分布的，并且可以很容易地计算解决方案，因为它们取决于误差项$\epsilon$, 给定$X$.
例如分布$Y$在常规 OLS 模型中可能是$Y|X-N(X\beta,\sigma^2)$.
如果你的$X$group 不正常，那么这可能会歪曲无条件的$Y$. 事实上，这种情况很有可能发生。不过重要的是分布$Y|X$是正常的。

问题 2)
是的，可能有偏斜的值$Y$因为$X$. 然而，如果满足所有假设，残差将是正常的（你怎么能做区间和假设检验？！）。对于您问题的这一部分，此线程中有一个非常明确的答案： 如果残差是正态分布的，但 y 不是？

问题 3）
使用需要正态性的线性模型的重要一点是，不正常的残差，无论这是否在一个组中，都是您的模型可能不适合您的数据的重要指标。
如果你正在做 ANOVA，那么你的整体残差当然不必是正常的（或者更确切地说是同方差的），那是没有意义的。不过，在回归中，您最好有一个模型，其最终具有整体正态残差。如果不是，您的区间估计器和测试将是错误的。这可能是某些自相关或缺失变量偏差的情况。如果模型是 100% 正确的（可能包括结构中断和必要时的加权），假设正常的误差项并不牵强，甚至以 0 为中心。实际上，问题经常变成：如果样本我们可以摆脱这些事情够大吗？没有明确的答案，但对于 100% 正确的方法，是的，所有残差都应该是正常的。

问题 4 和 5）
这取决于您比较的意思。给定正态误差项的假设，您可以基于两个不同分布的假设进行测试。您还可以使用 GLS 估计进行回归以解释不同的分布参数 - 如果您有正确的模型......我猜您的组本身可以作为指标/二元变量？
那么可能很难推断残差的分布是正常的 - 结果是虽然您可以对数据进行处理，但它不会基于常规 OLS。
但这取决于您要对数据做什么。

重要的是：您仍然无法绕过您正在使用的线性模型的假设。您可以通过假设渐近大样本属性来使问题变得更好，但是如果我猜是因为您要求的确定答案不是您想要的。
在您的示例中，如果您有可能解释偏度的数据，您将在残差和$Y|X$. 但是，如果您只是使用二元指标进行回归，那么您基本上使用了错误的模型。您确实可以对此进行测试，但是当涉及到回归时，您的区间结果将无效，本质上您缺少完整模型的数据。

我认为一个好的方法是研究常规 OLS 的代数，重点关注结果分布。

对问题 3 的澄清：残差的正态性绝对不意味着组内的正态性。残差的边际分布可以是正态的，而条件则不是。这是真的，因为非正态分布的混合可能是正态的；有关示例，请参见https://stats.stackexchange.com/a/486951/102879 。