过去，人们使用对数表来更快地乘以数字。为什么是这样？对数将乘法转换为加法，因为。因此，为了将两个大数和相乘，您找到了它们的对数，加上对数 ，然后在另一张表上查找$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$$a$$b$$z = \log(a) + \log(b)$$\exp(z)$

现在，特征函数对概率分布做了类似的事情。假设具有分布并且具有分布，并且和是独立的。那么的分布就是和的卷积，。$X$$f$$Y$$g$$X$$Y$$X+Y$$f$$g$$f * g$

现在特征函数类似于卷积的“对数表技巧”，因为如果是的特征函数，则以下关系成立：$\phi_f$$f$

此外，与对数的情况一样，很容易找到特征函数的逆：给定，其中是未知密度，我们可以的傅里叶逆变换。$\phi_h$$h$$h$$\phi_h$

特征函数将卷积转换 为密度函数的乘法，就像对数将乘法转换为数字的加法一样。两种转换都将相对复杂的操作转换为相对简单的操作。

@charles.y.zheng 和 @cardinal 给出了很好的答案，我会加两分钱。是的，特征功能可能看起来像不必要的复杂性，但它是一个强大的工具，可以为您带来结果。如果你试图用累积分布函数证明某些东西，总是建议检查是否不可能用特征函数得到结果。这有时会给出非常短的证明。

虽然起初特征函数在处理概率分布时看起来不直观，但有一些与它直接相关的强大结果，这意味着你不能将这个概念仅仅作为数学娱乐而丢弃。例如，我最喜欢的概率论结果是任何无限可分分布都具有唯一的Lévy-Khintchine 表示。结合无限可分分布是独立随机变量之和极限的唯一可能分布（不包括奇异情况）的事实，这是一个深刻的结果，使用该结果推导出中心极限定理。

特征函数的目的是可以用来推导概率论中分布的性质。如果您对此类推导不感兴趣，则无需了解特征函数。

特征函数是分布的密度函数的傅里叶变换。如果您对傅立叶变换有任何直觉，这个事实可能会很有启发性。关于傅立叶变换的常见故事是它们在“频率空间”中描述函数。由于概率密度通常是单峰的（至少在现实世界中，或者在关于现实世界的模型中），这似乎不是很有趣。